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Wavelets, Primera Parte: Ingrid Daubechies

15 octubre, 2015

Tuve un primer acercamiento a las wavelets en un curso, de aquellos que en ese momento sufres -con cierto gusto-, pero tiempo después le aprecias un poco más. Así que empecemos dejando claro que aunque no sea un experto total en el tema me parece importante compartir y a lo mejor alentarles a profundizar más en él. Esta entrada es en dos partes, la segunda tratará un poco más de los detalles de qué es una wavelet (me rehuso a llamarle ondícula) y sus aplicaciones-máxime cuando vi reciéntemente su uso en… biología-, en esta me enfoco en una de las pioneras en el área: Ingrid Daubechies.

El 13 de Octubre se conmemora el día de Ada Lovelace, considerada la primera programadora, y que celebra los avances de mujeres en áreas de ciencia, tecnología, ingeniería, y matemáticas. Básicamente, STEM. Como comentaba en tuiter, la primera vez que supe de ella fue en el colegio. Nuestro profesor de programación nos entregó un resumen de la historia de la computación donde la menciona como quien programaría la máquina Analítica de Charles Babbage. Por si no fuera sorprendente de por sí, luego encontraría que era hija de Lord Byron -la historia es más compleja e interesante aún. La historia humana de una u otra manera ha influenciado en sus logros.  Regresando al tema del día de Ada, y entre tanta mención importante que vi en tuiter,  me pareció interesante que no mencionaran a Daubechies por lo que me pareció prudente escribir esta nota. (tal vez haya alguna mención, pero ciertamente no abundante como otros nombres)

Preliminares

Brevemente, en el lenguaje más de calle (aja, claro), podríamos decir que una wavelet está emparentada con las Transformadas de Fourier, la cual hace un cambio del dominio del tiempo a una de frecuencia, esto en el contexto de señales. Pues una wavelet puede trabajar con ambas al mismo tiempo. Puede incluso manejar singularidades. Y entre las aplicaciones varias, está la compresión de imágenes o suavizamiento de curvas de datos -remover ruido-, o incluso resolver ecuaciones diferenciales. Hay distintas maneras de tratar de definir una wavelet, y tal vez no todos estén satisfechos con una descripción como la de acá.

En el primer caso, el manejo de huellas dactilares es uno de las primeras menciones clásicas de su uso (1). Imaginen esto, el FBI necesita analizar una huella tomada en el punto A, y la tiene que enviar a alguna sede para que se coteje con la base de datos de huellas, y se tiene que hacer rápido. Las wavelets permiten comprimir la imagen sin perder calidad, para que su envío y comparación sea lo más pronta posible.

Para el segundo caso, veamos la imagen, donde los datos originales están en rojo, donde hay mucho salto, y la curva suavizada está en azul.

Los datos originales están en rojo, el suavizamiento en azul. Imagen de Intraday Trading : Line Wavelet Plus EMA

Las wavelets utilizan bases ortogonales, aunque hay excepciones.Las bases es, digamos, son nuestras unidades con las que mediremos, dibujaremos, o describiremos algo. Por ejemplo en una manera muy simplificada, una coordenada de un punto en dos dimensiones se puede describir por cuánto de su componente horizintal tiene, y cuánto de la vertical. Existen distintos tipos de wavelets, según lo que se desee hacer. Existen las wavelets Haar, Coiflet, Daubechies, y otras con apellidos de quienes definan la base a utilizar en la wavelet. Sí, Ingrid Daubechies tiene una wavelet con su nombre.

Entonces, resumiendo

Wavelets forman una herramienta que permiten la descomposición de un objeto matemático
o una imagen en componentes más simples.
Esto permite que imágenes ricas en información puedan ser transmitidas sin pérdida de calidad. (4)

En una entrada siguiente, la segunda parte de esta, describiré un poco más de qué es una wavelet y algunas aplicaciones.

Ingrid Daubechies

Reciente miembro de la Academia Nacional de Ciencias e Ingeniería de Estados Unidos, y expresidenta de la Unión Internacional de Matemáticas (IMU).En el 2011 fue reconocida con el premio  John von Neumann dado por el Congreso Internacional de Matemática Aplicada e Industrial (ICIAM/SIAM), y en el 2012 por la Fundación Fronteras del Conocimiento de la BBVA, por

“influenciar enormemente varios campos de aplicación,
desde compresión de datos hasta reconocimiento de patrones.”

Nacida un 17 de Agosto, hija de una criminalista y de un ingeniero civil, a quienes en su libro “Ten lectures on wavelets” les dedica

“To my mother, who gave me the will to be independent.
To my father, who stimulated my interest in science”

Es Doctora en Física, y matemática “por exploración”, en el sentido que encontró aplicaciones de las matemáticas fuera de su área inicial, motivada en encontrar nuevas herramientas que ayudara a la física

… even as a physicist, my work was very theoretical, very mathematical.
I became interested in applications of mathematics outside physics
(especially in engineering),
and that is how I am now considered a mathematician.

La historia de las wavelets surge en la geofísica a inicios de 1980, cuando J Morlet buscaba hacer un análisis alternativo a la Transformada de Fourier, tomando en cuenta al mismo tiempo el tiempo y la frecuencia. Poco después, en el momento en que sale del área de la geofísica “¡la wavelet nació!” (3). Ella, Daubechies, entra en escena en 1985, buscando hacer una descomposición de señales y definiendo una base con ese fin, obteniendo aplicaciones en la estandarización de compresión de imágenes JPEG 2000, y para comprobaciones de teorías matemáticas (4).

Estos avances le han resultado en reconocimientos como los antes mencionados y como el siguiente, por la Academia Nacional de Ciencias de Estados Unidos con el premio a la excelencia en investigación en Matemáticas, y la primera mujer en obtener dicho honor,

… for fundamental discoveries on wavelets and wavelet expansions
and for her role in making wavelets methods a practical basic tool of applied mathematics.

Tratamiento de imágenes no se queda en lo (producido en) digital, sino que también se ha enfocado en aplicar wavelets para el análisis y la restauración de pinturas, ¡arte!  (Vea su CV en este y en este)

Después de hablar muy brevemente de Ingrid Daubechies, matemática, física, aplicada en ingeniería y arte…. ¿No les sorprende que no haya suficiente mención de ella para el Día de Ada Lovelace?

Referencias

(1) Walker, James. A Primer on WAVELETS and Their Scientific Applications

(2) Biografía de Ingrid Daubechies. Este sitio tiene biografías de matemáticas importantes, uno de mis favoritos.

(3) Daubechies, I. Where do wavelets come from? PROCEEDINGS OF THE IEEE, VOL. 84, NO. 4, APRIL 1996.

(4) Publicación del Notices of the AMS del premio BBVA (2013).

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