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Transporte y Difusión de Contaminantes

15 junio, 2015

La entrada de hoy está en parte motivada por recientes eventos especiales. Específicamente mostramos la idea de Transporte y de Difusión de una solución o contaminante en un medio, por separado y combinados, procurando como es usual y en lo posible, mantener la idea sencilla y mostrar las ecuaciones matemáticas relevantes.

Difusión

El ejemplo diario de difusión lo vemos cuando usamos una servilleta para secar un líquido, esa característica “absorbente” que tiene el papel. Algunas servilletas absorben mejor que otras y podríamos pensar que aunque el fenómeno de difusión es el mismo, hay una “difusividad” o “dispersión” mayor en una que en otras.

Una de las ecuaciones famosas en Ecuaciones Diferenciales Parciales es precisamente la Ecuación de Difusión

\frac{\partial u}{\partial t}=D\nabla^2u

donde u=u(\vec{x},t) nos dice, por ejemplo, la concentración de un contaminante en cualquier punto del espacio, con coordenadas \vec{x} y en cualquier tiempo t, y donde D es la Constante de Difusión. Cada vez que queremos hablar matemáticamente de un fenómeno que se dispersa o difunde en el espacio estamos hablando de $latex\nabla^2u$, que en entradas anteriores la hemos visto (para describir la distribución de pandillas). En su versión más sencilla en una dimensión espacial estamos hablando de

\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

Como ejemplo para visualizarlo, tomemos un vaso vacío al que dejaremos caer, justo en el centro, cierta cantidad de liquido. La experiencia nos dice que el líquido (ignorando turbulencias) de a poco irá de estar acumulado en el centro a distribuirse uniformemente dentro del recipiente. Esto equivale a decir que en la frontera del vaso no habrá flujo una vez llegue el líquido al borde.

Debería conseguir un dibujante...

Líquido cayendo en vaso

(Aunque la geometría nos diría que hemos de considerar otras coordenadas, si nos enfocamos en el corte transversal del vaso, podemos utilizar nuestra expresión de antes.)

Asumiendo una constante D=1, nuestra expresión se vería así en distintos tiempos. En el tiempo 0.05 ya prácticamente se ha distribuido el líquido en el recipiente. Aunque esta EDP tiene una solución fundamental (3), la resolvemos por medio de Separación de Variables.

Difusión (con constante igual a 1)

Difusión (con constante igual a 1)

¿Qué efecto tiene el valor de la Constante de Difusión?

Veamos una constante menor y mayor que la anterior.

Difusión con constante menor a 1.

Difusión con constante menor a 1.

Difusión con constante mayor a 1.

Difusión con constante mayor a 1.

Notemos que mientras más grande sea el valor de la constante se necesita menos tiempo para difundirse o distribuirse que con una constante menor, que es un tanto intuitivo.

Entonces, si hay un contaminante en un líquido es vital saber cuán rápido se dispersará para tomar medidas de control y preventivas, además de que si al inicio está altamente concentrado, cuán peligroso será cuando se haya disuelto en el medio.

Transporte

En un medio ideal, y como su nombre indica, la idea del Transporte de “algo” es que avance según una velocidad dada, e idealmente sin pérdida. El ejemplo que más rápido se me viene ahora es del transporte de pulsos, como el que se da en una cuerda, o un látigo, el movimiento de mano que hará que eventualmente a la punta llegue “el latigazo”.

La expresión, en una dimensión espacial, que modela el transporte de un compuesto en un medio está dado por

\frac{\partial u}{\partial t}=-c\frac{\partial u}{\partial x}

Pensemos en una colina con dos distintas inclinaciones, Si estamos en la cima de una colina, solo podemos caminar a una velocidad, y queremos bajar pronto, pues tomaríamos aquella con una pendiente más pronunciada (asumiento que es seguro, claro 😉 ), pues el término \frac{\partial u}{\partial x} nos indica eso, es el gradiente (acá, en una dimensión). Entonces si hemos de transportarnos en un líquido, buscaríamos los “atajos” en el camino.

Caminos con distinta inclinación

Caminos con distinta inclinación

Si lo vemos como un pequeño pulso en un extremo al inicio, es decir u(x,t), y que se propagará sin detenerse (o dispersarse), nuestra EDP tiene una solución simple

u(x,t)=f(x-ct)

y que lo ilustramos acá

Pulso transportado.

Pulso transportado.

Transporte y Difusión (Advección)

Si tenemos un contaminante que cambia de lugar pero que no se disperse o difunda con facilidad, será fácil de controlar dado que se concentraría en una región prevista en cierto tiempo. Si tenemos un contaminante que se difunda, pero que no se transporte, sería relativamente sencillo cercar o limitar al contaminante. El problema ahora es si no solo se transporta sino que también se difunda, y matemáticamente también deja de ser tan simple, al menos la solución. Casi como esperaríamos estaríamos hablando de combinar nuestras expresiones de Transporte y Difusión

\frac{\partial u}{\partial t}=-c\frac{\partial u}{\partial x}+D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

En sí, la expresión es sencilla (y hasta cierto punto… bonita), sin embargo la solución (analítica) no es tan trivial, pero que afortunadamente existe, y gracias a Ogata y Banks (1), según menciona Runkel (2)

u(x,t)=\frac{c_o}{2}\left(erfc\left(\frac{x-ct}{2\sqrt{Dt}}\right)+Exp\left(\frac{cx}{D}\right)erfc\left(\frac{x+ct}{2\sqrt{Dt}}\right)\right)

donde el segundo término “puede ignorarse” (Where boundaries are symmetrical the solution of the problem is given by the first term of equation -nuestra ecuación-. Ogata y Banks), y justamente eso hacemos para mostrar el efecto de un contaminante que se vierte en un extremo de un río, por ejemplo a 100 unidades de concentración, y que se transporte a distinta velocidad y coeficiente de dispersión.

Solo Transporte

Virtualmente solo Transporte. Tiempo en horas y distancia en kilómetros.

Solo Difusión.

Virtualmente solo Difusión. Tiempo en horas y distancia en kilómetros.

Difusión y Transporte.

Difusión y Transporte. Tiempo en horas y distancia en kilómetros.

Para ver la derivación de las anteriores expresiones vea este sitio.

Referencias

  1. Ogata, A. y Banks, RB. (1961) A Solution of the Differential Equation of Longitudinal Dispersion in Porous Media.
  2. Runkel, R. (1996) Solution of the Advection-Dispersion Equation: Continuous Load of Finite Duration
  3. Evans, L. Partial Differential Equations.

Dedicatoria y Motivaciones

Esta entrada en parte está dedicada para un grupo de estudiantes de la Carrera de Ing. en Alimentos y de Ing. en Industrial quienes fueron introducidas al fenómeno del transporte y difusión en diversos proyectos del curso de Ecuaciones Diferenciales.

Río de La Pasión, Petén.

Río de La Pasión, Petén.

sayaxché

Peces muertos por la contaminación con pesticida en el Río La Pasión, Petén.

Muy en especial está motivada por la contaminación reciente con el pesticida malatión que ha sufrido el Río La Pasión, matando a peces o tortugas primordialmente, afectando al medio de vida de los pobladores. Algunos intentaron incluso salvar a cuanto pez fuese posible, algo que me pareció impactante. Este es un Ecocidio que espero no quede en el aire entre nubes de impunidad. Para tener una idea del impacto en la región vea este reportaje.

(otras noticias Investigación a Repsa,  Palma Africana: La farsa de la responsabilidad social, Los reportajes de Plaza Pública respecto a la Palma Africana)

la pasion

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