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Día de Darwin: Extrayendo las matemáticas para las poblaciones

9 febrero, 2015

(corrección al dato de la E. coli. ¡Gracias PPM!)

El 12 de Febrero es el Día de Darwin, celebrando el cumpleaños de Charles Darwin, quien sabemos revolucionó al mundo con la publicación del Origen de las Especies, plasmando después de mucho tiempo sus conclusiones tras su paso por el hemisferio Sur, en especial Chile, en el HMS Beagle.

Por la importancia e impacto que tuvo el Origen, este libro estaba en una lista “Por leer”, y lo empecé, en buena parte motivado por las menciones que supe que hacía respecto a Robert Malthus, y por la importancia que Darwin le reconoció a las matemáticas, algo que hago énfasis dado que trabajo con estudiantes de Biología ;). Y es por ello que hoy extraigo un par de frases, tomadas del Origen, y otra de su autobiografía, con una traducción al simbolismo matemático.

Despeje la población

En una entrada anterior en la que hablaba de la relación de las matemáticas con la biología mencioné brevemente a Robert Malthus (1766-1834), considerado el primer economista de Cambridge, que al nacer fue visitado por tremendas amistades del padre: Jean-Jacques Rousseau y David Hume (1)

Cuando el niño tenía tres semanas, le visitaron dos hadas madrinas,
Jean-Jacques Rousseau y David Hume,
y puede suponerse que concedieron al pequeño,
con un beso, diversos dones intelectuales.
(John Keynes)

Durante la revisión de las políticas que el gobierno tomaba para la ayuda social, Malthus reintrodujo la importancia del crecimiento de una población cualquiera en un ambiente con recursos ilimitados.

La población, si no encuentra obstáculos,
aumenta en progresión geométrica.
Malthus

Euler poco tiempo atrás habría introducido la noción del crecimiento exponencial (o geométrico, dependiendo si hablamos de contínuo o discreto), pero quien realmente lo lleva a una importancia y contexto social, económico, y político fue Malthus. Entre los temas que discutía Malthus era el de una población de personas, con mucha ayuda económica, crecería, mientras que la comida crece a un ritmo lineal. Y tal fue el impacto de las palabras de Malthus que encontraron eco a un nivel más natural en Darwin:

Cada ser, durante su curso natural produce varios huevos o semillas,
ha de sufrir alguna destrucción durante algún período de su vida,
y durante alguna temporada o en algún año cualquiera,
de lo contrario, bajo el principio del crecimiento geométrico,
sus números rápidamente crecerían tanto que ningún país podría soportar al producto.
(Capítulo 3)

Y continua,

Es la doctrina de Malthus aplicada con fuerza manifiesta a todo el mundo animal y vegetal;
Aunque algunas especies puedan ahora incrementar, más o menos rápidamente, en número,
sin embargo todas al mismo tiempo no podrían, porque el mundo no podría soportarlos.

Un crecimiento geométrico,  P_n=2^n, para tiempos discretos o pasos de uno en uno (para n=0, 1, 2, 3…), puede verse en acción en la división de la Escherichia coli, que en el intestino tienen al inicio el recurso suficiente para crecer… exponencialmente

También representado en su forma de Ecuación Diferencial, en la que una población crece en proporción a la ya existente

\frac{dP}{dt}=kP

cuya solución es P(t)=P_0e^{kt}, donde k es una constante de proporcionalidad que indica una tasa de crecimiento. También puede verse en una hoja electrónica en su forma diferencial (como mostramos antes)

P_{t+1}=P_t+dt\,k\,P_t

¿Y qué pasa si tenemos recursos limitados?

Una manera de reflejar esto es con la Ecuación de Verhulst, comentada en una entrada anterior, en el que la población y en un ambiente que puede soportar no más de N individuos estaría representada por la siguiente ecuación y verse como en la gráfica

\frac{dy}{dt}\propto y(N-y)

Imagen de "A mathematician reads the newspaper" J.A. Paulos

Imagen de “A mathematician reads the newspaper” J.A. Paulos

Al inicio, una población tendrá un crecimiento exponencial, pero eventualmente empezará a crecer más despacio hasta alcanzar un máximo. Puede imaginarse qué pasa con los individuos de una población cuyo número sea superior a lo que un ambiente puede soportar…

Despeje para las poblaciones

Pero no es la única ecuación que podremos extraer de Darwin en el Origen, ya hablando de dos o más poblaciones

Podemos concluir, de lo que hemos visto de la manera íntima y compleja
en que los habitantes de cada región se relacionan entre sí,
que cualquier cambio en las proporciones numéricas de algunos de los habitantes,
independiente del cambio del clima, afectará seriamente a las otras
(Capítulo 4)

Esto, en ecuaciones es, en un ejemplo básico, las expresiones de Lotka-Volterra de competencia entre especies. Tenemos dos tipos, una donde una especie consume a la otra, y donde no hay caza, pero los dos grupos tienen la misma fuente de alimento. En el primer tipo, en el ejemplo clásico de zorros y conejos, que a una mayor población de conejos, la de zorros crecerá también, siendo estos los que controlan la población de los anteriores. En caso de comer mucho conejo, eventualmente la población de zorros disminuye, propiciando el aumento de conejos, repitiendo el ciclo descrito. En el segundo caso, podríamos tener a dos poblaciones que comen un tipo de vegetación, si uno es más boraz que el otro, este último verá reducida su población.

Las ecuaciones de Lotka-Volterra para una población presa x y cazadora y, se ven así (4)

\frac{dx}{dt}=rx-q_1xy
\frac{dy}{dt}=q_2xy-my

donde en la primera ecuación, si no estuviera el término q_1xy, recuperamos la ecuación Malthusiana, es decir, que el término rx indica el crecimiento de la población de la presa x. El término q_1xy indica justamente la interacción entre la presa y la cazadora, siendo una tasa de interacción lo que representa la constante q_1. De la segunda ecuación podemos ver entonces que se refiere a la tasa de crecimiento de la población cazadora, que aumenta con la interacción presa-cazador, y disminuye según la mortalidad de la especie cazadora, representada por m\,y. Ahora, para este tipo de poblaciones, sería el primer tipo o caso antes descrito, y la parte repitiendo el ciclo, indica que hay un fenómeno oscilatorio, que justamente sucede (dependiendo de las constantes r, q, m), como se ve en la Demostración de Wolfram

Simulación de Lotka-Volterra de Wolfram Demonstrations. Instale el CDF Player para utilizarlo.

Otro segmento dice

Pero en el caso de una isla, o otra región aislada,
a la cual nuevas y mejores formas adaptadas no pudieran entrar fácilmente,
entonces tendríamos lugares en la economía de la naturaleza que estarían mejor ocupados
si algunos de los habitantes originales se modificaran de alguna manera;
Ahora, si el área estuviera abierta a la inmigración,
estos mismos lugares estarían invadidos por los intrusos.

Este efecto de la introducción de una especie a un ambiente nuevo es evidente en Australia, como el caso de cierto tipo de sapos, fenómeno que también explotó el estudio de modelos matemáticos de poblaciones y su distribución en un área cerrada (como el de Emeric Bouin y Vincent Calvez).

toad

Click para ver el video de Animal Planet acerca de la invasión de Sapos en Australia

Presentación de W Bouin durante CIMPA 2013 en Cuba.

Claro, no serán los únicos ejemplos a los cuales se pueden traducir a simbolismo matemático, pero son un par de mucha aplicación que deseaba compartir ahora. Recordemos que los modelos matemáticos tienen como fin, no solo representar lo que sucedió, sino entender cómo y por qué sucedió, y muy en especial, para que en eventos futuros se pueda tomar medidas o decisiones a tiempo.

Y ahora a seguir leyendo, no sin antes dejar esta frase

Durante los años en Cambridge mi tiempo fue perdido,
al menos en lo concerniente en lo académico.
Intente con las matemáticas, pero el trabajo me era repugnante,
más que todo por mi incapacidad de ver significado en los primeros pasos del álgebra.

Esta impaciencia era tonta de mi parte,
y años después me arrepentí profundamente de no haber procedido lo suficiente
en entender algo de los grandes principios de las matemáticas,
dado que las personas versadas en matemáticas parecían tener un sentido extra.
Charles Darwin

———————-

No deje de escuchar los podcast que Naukas (la plataforma virtual de divulgación científica española) tiene/tendrá preparados para el Día de Darwin.

Referencias

  1. Malthus, Robert. Primer Ensayo sobre la población. (Edición con ensayo de Lord Keynes)
  2. Bacaër, N. A Short history of mathematical population dynamics
  3. Darwin, C. El Origen de las Especies (en español, inglés)
  4. Ledder, G. (2013) Mathematics for the life Sciences
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