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La curva, ese: S

21 junio, 2014

(23/Jun Aplicación de Wolfram agregada en Referencias)
(21/JunAgregada una figura en Referencias y otros enlaces, al final)

La curva S, o curva logística, nos ayuda a entender el crecimiento de una población, la novedad de un tema o noticia, la extensión de una enfermedad, como el mal de Chagas. Su origen conceptual es bastante básico, pero no por ello limita el poder o profundidad de lo que nos dice, y acá, comentamos un poco de su forma, su origen, y un poco de sus aplicaciones. Al final veremos cómo esta curva nos da un límite al crecimiento poblacional en nuestro planeta como consecuencia de que los recursos son limitados.

En el libro “A mathematician reads the newspaper“, John Allen Paulos comenta o discute algunas noticias comunes que suelen ser maltinterpretadas por no manejar adecuadamente un pensamiento crítico-matemático; sirve de recordatorio de mantenerse alerta con las noticias. En el libro, realmente Paulos lo comenta como si estuviera leyendo el diario, conforme encuentra la noticia, y tira un comentario corto. Esto está bien, pero a veces uno hubiese querido que profundizara un poco más en algunos detalles.

Entre uno de los segmentos que cubre es la llamada Curva S:

Imagen de "A mathematician reads the newspaper" J.A. Paulos

Imagen de “A mathematician reads the newspaper” J.A. Paulos

 

La cual puede, en parte, describir el comportamiento [1] de

  • Producción de sinfonías de Mozart,
  • Crecimiento del tráfico aéreo,
  • Cantidad de catedrales góticas,
  • Sensación de novedad.

Respecto a este último, en algún lado justamente describían con una curva esa estabilización de la curva S al empezar a seguir a determinando sitio o persona, poniéndose mucha atención a sus actividades hasta que eventualmente deja de ser novedoso y es parte de la rutina.

Pero, ¿de dónde viene y qué más indica esta curva? Note en la imagen de la curva S del libro de Paulos, que hay un punto a mitad de camino. Entre el inicio y este punto (punto crítico), el crecimiento es casi exponencial, es decir, tiene un crecimiento rápido. Mientras que después de ese punto, el crecimiento se vuelve más lento.  Esta curva, llamada también logística, se obtiene de resolver la ecuación diferencial del problema de crecimiento con recursos limitados, que es una mejora del modelo de crecimiento exponencial, utilizado en crecimiento poblacional de bacterias. Esta mejora la planteó Pierre Verhulst (\approx 1840), y toma en cuenta las interacciones de lo que hay y lo que falta por ser. El modelo exponencial básico, uno donde la población de lo que quieras puede crecer sin límites, fue expuesto por Malthus (\approx 1800), a pesar de que él estaba consciente de que un modelo así no es tan realista. Recordemos que hemos dicho que un modelo nos dice mucho y aprendemos más de él cuando no es tan certero, esto nos obliga a ver qué fue lo que no entendimos bien del fenómeno.

¿Cómo así que Verhulst toma en cuenta lo que hay y lo que falta por ser? El ejemplo clásico para derivarla es el siguiente: si y(t) denota la cantidad de personas enfermas, en una comunidad de N personas (recursos limitados, porque la cantidad de personas a enfermar es finita), entonces la cantidad de personas por enfermar será obviamente N-y. Entonces, la tasa de crecimiento de personas enfermas es proporcional a las interacciones entre las sanas y las enfermas. Siempre que se refiere a interacciones entre variables, en este caso sanos y enfermos, matemáticamente se escribe como un producto entre de ellas. La proporcionalidad es escrita entonces como

\displaystyle\frac{dy}{dt}\propto \,y\,\left(N-y\right)

Como indica Murray [2], este modelo además nos puede ayudar a describir desde el crecimiento de células cancerosas hasta el crecimiento de cosechas.

Uno de los aspectos más agradables que tiene, por lo menos para mí en lo personal, es que siendo una expresión tan sencilla, usada incluso de ejemplo básico de cursos de ecuaciones diferenciales, nos puede decir tanto del crecimiento de casi cualquier cosa que sepamos que tendrá un límite. Claro, un modelo sencillo cumple su propósito y hay que mejorarlo, meter o quitar suposiciones, como consideraciones espaciales, y de repente tenemos un modelo para explicar la distribución de territorios de pandillas, habiendo una cantidad de personas máximas a reclutar (¡recursos limitados!).

Esta curva, gracias a la idea básica de interacción entre una persona sana y un ente que lo infecte (lo que hay y lo que falta), aparece en algo tan trascendental como el mal de Chagas, una enfermedad causada por el Tripanozoma cruzi, cuyo vector es la chinche. Reciéntemente he revisado un artículo de Kribs-Zaleta [3] donde relaciona personas a ser infectadas y el vector, sano y por enfermar, por medio de la siguiente ecuación (con algunas suposiciones extras que hice)

 

\displaystyle\frac{dI}{dt}=r\,V\,(N-I)

 

donde I es la cantidad de personas infectadas, V es la cantidad de vectores (chinches) infectados que interactúan con las personas sanas N-I, sabiendo que se pueden infectar, si mucho, a N personas. Sin mucha sorpresa, o tal vez sí, la forma del crecimiento de personas enfermas por picadura o consumo del vector enfermo, se ve así

Modelo de Kribs-Zaleta de la propagación del mal de Chagas. [3]

Modelo de Kribs-Zaleta de la propagación del mal de Chagas. [3]

Una curva S, una curva… ese.

 

Referencias y otras enlaces

[1] Paulos, John Allen. (2013). A mathematician reads the newspaper

[2] Murray, J.D. (2002) Mathematical biology.

[3] Kribs-Zaleta, C. (2006) Vector consumption and contact process saturation in sylvatic transmission of T. cruzi.
Vea esta aplicación de Wolfram para tener una idea de la curva S

[4] El progreso de aceleradores de partículas nos entrega una posible presencia de la curva S. Como hablamos de física de altas energías, la parte izquierda de la S no aparecería. Note como ha tenido un ritmo continuado hasta antes del 2000, cuando se vuelve lento hasta el LHC. ¿Estaremos alcanzando un límite físico (material)?

Progreso de colisionadores de hadrones. Tiene casi una forma S, excepto por el lado izquierdo. Imagen de Wikipedia.

[5] Un video sugerido

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