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“Like a SIR”: Vacunas y puntos de inflexión (tipping point)

23 marzo, 2014

Bueno, de un tiempo acá se ha hablado de vacunas, en especial en respuesta a grupos antivacunas (que me sorprenda que haya…), de cómo aún a unos cuantos sin vacunar pueden estar a salvo gracias por la inmunidad de grupo, pero que es indispensable que haya un significativo número de personas vacunadas.

Sin embargo ha hecho falta recordar el respaldo matemático. Para ello he recopilado la siguiente información.

Tipping Point (Punto de Inflexión) y Número de Reproducción R0

Coursera ofrece un curso llamado “Model Thinking“, en el cual, como su nombre indica, busca enseñar distintas maneras y enfoques para modelar diversas situaciones. Entre los temas que cubre hay uno dedicado al llamado “Tipping Point“, o punto de Inflexión, o umbral (threshold). En términos simples, el Tipping point es un valor de referencia donde estando por debajo de este nada sucede, pero una vez se cruza la situación cambia radicalmente. Entre los ejemplos que se dan durante este curso está el de un incendio que se propague en un bosque: Si la densidad de árboles, \rho en un bosque está por debajo de \rho_o, entonces, si hay un incendio, este (muy probablemente) no se propagará; sin embargo, si esa densidad es mayor que \rho>\rho_0, entonces es un hecho que el incendio se propagará. Entonces, se hace un énfasis en que este umbral hace que los cambios no sean “suaves”, sino que tengan un salto, un giro total de la situación.

Otro ejemplo es el de enfermedades, específicamente el umbral en referencia al llamado índice o tasa de reproducción (de una infección), R0. Este se define como el número de de enfermedades secundarias que ocurren dada una persona infectada. Si este número es mayor que uno, entonces definitivamente una enfermedad será epidémica porque esta se propagará. Ahora, claramente la enfermedad se propagará en la población susceptible a contraer la enfermedad, es decir, aquella que no está vacunada. En una población sin vacunar, una enfermedad en particular tendrá un R0 mayor que uno, sin embargo, al vacunar a las personas, se reduce la cantidad de personas susceptibles a la enfermedad, reduciendo entonces el valor de R0. Es decir,

vacunando a un porcentaje alto de la población, una enfermedad tendrá poca propagación, o ninguna.

Dr. Erin Mears (Kate Winslet) describiendo qué  es el R0 en la película Contagion.

Dr. Erin Mears (Kate Winslet) describiendo qué es el R0 en la película Contagion.

¿De dónde viene este número? ¿Cómo saber qué porcentaje de mi población he de vacunar para que una enfermedad no sea considerada epidémica?

Modelos SIR/SIS 

Los modelos SIR o SIS buscan describir, mediante sistemas de ecuaciones diferenciales, la propagación de una enfermedad en una población  (claro, bajo ciertas suposiciones, bastante razonables para empezar). Se le da crédito de la introducción de este tipo de modelos a Kermack y  McKendrick, en su artículo de 1927 A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics, el cual ha fungido como piedra angular de este tipo de estudios.

El modelo SIR, inicialmente hace la suposición de que la población total es constante y que se divide en tres grupos esencialmente:

S – Susceptibles, que son el grupo de personas que aún no han contraido la enfermedad y que potencialmente la pueden contraer

I – Infecciosos, los infectados y que pueden contagiar a los susceptibles

R – Removidos, que incluye a las personas infectadas que se curaron y que son ahora inmunes a la enfermedad. También incluye a las personas que han fallecido por la enfermedad. Claramente, las personas en este grupo no cuentan nuevamente como S o I. La diferencia con el modelo SIS está en que, en lugar de ser Removidos, las personas que se curen pueden volver a enfermarse; puede suponerse que no hay muertes y una variante es que sí.

Imagen de Mathematical Models in Biology - Edelstein-Keshet

Modelo SIR. Imagen de Mathematical Models in Biology – Edelstein-Keshet

Siendo una población total de N personas, se tiene entonces que N=S+I+R.

Construyamos un modelo SIR en el que algunos de los Removidos pueden ser nuevamente Susceptibles.Entonces, la tasa en que la cantidad de Susceptibles se reduce (porque se contagian), es proporcional a las interacciones entre las personas sanas, S,  y las enfermas, I, mientras que aumenta por aquellos Removidos que puedan ser susceptibles nuevamente. Recordemos que las interacciones se modelan como un producto de las variables (¿se recuerdan de la Guerra de Smartphones?). Siendo \beta la constante de proporcionalidad, esto equivale a la ecuación diferencial:

\frac{dS}{dt}=- \beta \,S\,I+\gamma\,R

Además, la cantidad de personas infectadas aumenta por los sanos contagiados, pero se reduce porque alguno  de los infectados ha pasado a ser Removido, ya sea porque se cura o porque fallece. La constante de proporcionalidad en que crece es la misma \beta porque aumenta en la misma proporción en que interactúan los enfermos con los sanos, mientras que \nu será la constante de proporcionalidad para los enfermos que pasan a ser Removidos:

\frac{dI}{dt}=\beta \,S\,I-\nu \,I

Finalmente, la cantidad de Removidos crece en proporción a los que estuvieron enfermos, siendo aquellos que se curan o fallecen, y crece en la misma proporción \nu, sin embargo, algunos de los removidos pueden curasrse y ser a ser susceptibles nuevamente:

\frac{dR}{dt}=\nu \,I-\gamma\,R

Una solución en estado estable es aquella que no depende del tiempo (digamos, cuando ha pasado tiempo y los fenómenos alcanzan un equilibrio). Al decir en una ecuación diferencial que queremos una solución en estado estable nos referimos que su derivada respecto al tiempo es cero (porque se alcanza un estado en que ya no depende del tiempo). Si buscamos la solución en estado estable de nuestro triplete de ecuaciones anteriores, implica resolver un sistema de ecuaciones (no lineales):

0=- \beta \,S_e\,I_e

0=\beta \,S_e\,I_e-\nu \,I_e

0= \nu \,I_e-\gamma\,R

obteniendo (notando que cada población se le ha agregado el subíndice e para indicar que es en estado estable) dos escenarios:

  1. Uno en que la enfermedad ha sido erradicada
    S_e=N
    I_e=0
    R_e=0Claro, este sería un caso casi trivial, veamos el otro escenario
  2. Uno en que hay personas infeccionas, y  se llega a que
    S_e=\frac{\nu}{\beta}
    I_e=\gamma\frac{N-S_e}{\nu+\gamma}
    R_e=\frac{\nu\,I_e}{\gamma}

El escenario 2 sería uno más realista en el que vemos una enfermedad que se ha propagado. Para que haya cierta cantidad de infectados estamos pidiendo que el término N-S_e sea positivo, pero tenemos además que S_e=\frac{\nu}{\beta}, haciendo que la condición sea:

N\frac{\beta}{\nu}>1

Y es este valor de donde se define el Número de Reproducción

R_0=N\frac{\beta}{\nu}

Notemos las dimensionales. \beta tiene dimensionales de 1/población-tiempo, mientras que de \nu es 1/tiempo, lo que hace a \beta/\nu que tenga dimensionales de 1/población. Es decir, esta razón nos da una proporción de población que entra en contacto con la enfermedad; y a R0 como el indicador de contagios secundarios dado una persona infectada, ver (1).

Vacunación 

Para una enfermedad dada, el número R0 puede reducirse, a menos de 1, si se vacuna a algún porcentaje de la población (y a ese porcentaje de no vacunados están amparados a la ley de la inmunización de grupo). El vacunar implica reducir a la población N, ya que se reduce a la población susceptible, S. Entonces, el problema de examen es ¿Qué porcentaje de la población he de vacunar si quiero que una enfermedad no sea epidémica?

Bueno, si p representa al porcentaje de personas vacunadas, entonces (1-p) es el porcentaje de las no vacunadas. Si mi población original era N, entonces la población no vacunada es (1-p)N, por lo que queremos entonces:

(1-p)N\frac{\beta}{\nu}<1

o que es lo mismo que

(1-p)R_0<1

lo que nos deja que hemos de vacunar a por lo menos a un porcentaje \displaystyle 1-\frac{1}{R_0}  de la población. Note que mientras más infecciosa sea la enfermedad, un R0 grande, mayor el porcentaje de personas a vacunar.

Entonces, ¿es importante vacunar a las personas? Definitivamente sí, tanto por la persona vacunada como por las que lo rodean. Si una persona no está vacunada, solo puede escudarse de que los demás sí lo estén.

Para mayor y mejor detalle de los modelos SIR se sugiere revisar las fuentes (1) y (2).

¿Qué dice Nate Silver de los modelos SIR?

En ocasiones anteriores he sacado el nombre de Nate Silver y su libro “The signal and the noise” (ver aquí), y tengo la oportunidad de hacerlo de nuevo. Como podrá apreciar el lector, el modelo SIR es en construcción bastante sencillo, tomando unas suposiciones sencillas. Ahora, Silver comenta de los aspectos positivos y negativos de los modelos simples y de los complejos. De los modelos complejos, Silver menciona que “pueden dejar perdido al pronosticador”. Además, un modelo complejo puede ser más preciso, pero no por ello más exacto (vea acá para esa diferencia), y darle al pronosticador una “falsa sensación de sobreconfianza” haciéndole creer que es mejor prediciendo de lo que realmente es. El defecto de un modelo simple, es justamente eso, por lo simple de las suposiciones sobre las que fue construido.

De esto dice, en específico del SIR: “El problema es que el modelo requiere muchas suposiciones para que funcione de manera apropiada, muchas de ellas no son realistas en la prática”. En particular, dice

El modelo asume que todos en la población se comportan de la misma manera,
todos son igualmente susceptibles,
(diría.. casi como… partículas indistinguibles),
independiente de su cultura, de su lugar de origen, edad, etc.

Por supuesto, Silver da algunos ejemplos de cómo el modelo SIR quedó corto para algunas predicciones  dada la naturaleza de su población.

Finalmente, que el modelo SIR puede dar buenos resultados para entender una enfermedad, pero muy burdo para predecir su comportamiento probablemente. “Simplicidad puede ser una virtud para el modelo, pero debería de ser sofisticadamente simple”.

Referencias:

(1) Edelstein-Keshet, Leah. Mathematical Models in Biology. Capítulo 6 “Applications of continuous models  to population dynamics”.

(2) Murray, J.D. Mathematical Biology: I. an Introduction. Capítulo 10 “Dynamics of Infectious diseases”

(3) Mitos de vacunas, del World Health Organization.

(4) Epidemic Theory.

(5) Chapter 3, Assessment of risk, del World Health Organization.

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