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Fermi-Dirac-….¿Jon-quién?

19 enero, 2014

(Nota al pie agregada)

Alrededor del 2007 escuché algo acerca de las integrales (o funciones) Fermi-Dirac que llamó mi atención

De las que no tienen forma cerrada conocida

Desde la introducción de estas funciones en 1926 hubo intentos diversos de encontrar una forma cerrada, aproximaciones, o ecuaciones de ajustes según el rango de aplicación. Sin embargo, hasta 1995 Howard Lee da cuenta de que existen los polilogaritmos…desde hacía muchos años. Y Finalmente Srivastava en 2011 menciona al artífice de los polilogaritmos, quien escribió acerca de ellos… ¡en 1889!

Es interesante entonces que haya pasado por alto, ni una mención de su existencia por casi 75 años.  Se podría decir que es debido a que no es una forma cerrada (1); se podría debatir todavía si una suma infinita es o no una forma cerrada. Sin embargo y por encima de todo eso, más de alguna mención aparte hubiese recibido en algún momento.

El artículo original es francés y de 1889. ¿Será el año o el idioma un factor influyente en ese entonces? ¿Qué tanto lo será hoy? A veces se encuentra que es difícil una buena comunicación entre matemáticos y físicos, aparte de las diferencias de caracteres de ambos, está el hecho que en ocasiones el matemático no conoce alguno de los aspectos físicos, sus interpretaciones, y a veces los físicos no conocen algún método matemático.  A veces. ¿Podría ser entonces que los polilogaritmos hubiesen sido una “curiosidad” matemática de la que no se supo aplicación hasta mucho tiempo después? Es tal vez un bonito caso de lo que decía Lobachevsky  (a pesar de que no a todos les guste).

"There is no branch of mathematics, however abstract, which may not someday be applied to the phenomena of the real world" N. Lobachevsky

“There is no branch of mathematics, however abstract, which may not someday be applied to the phenomena of the real world” N. Lobachevsky

La Historia

\displaystyle\frac{1}{\Gamma{1+k}}F_k\left(\eta\right)= \int_0^\infty \frac{x^k}{1+e^{x-\eta}}dx
(Integral de Fermi-Dirac de orden k donde \eta es un parámetro de cuán degenerada está la materia)

En 1926 Enrico Fermi (2) y Paul Dirac (3) describen la función estadística de distribución que rige a las partículas indistinguibles (con medio spin), como el electrón, en las cuales es válido el Principio de Exclusión de Pauli. Este indica que no hay dos partículas, en un átomo, que puedan ocupar el mismo estado cuánto con los mismos números cuánticos, números resultantes de los valores propios de la ecuación de onda de Schrödinger esférica del átomo de hidrógeno (3,4), y que son los numeritos que veíamos en nuestra tabla periódica. Un Ngram da una idea del desarrollo histórico de “Fermi and Dirac” en la literatura.
Fermi and Dirac

Entre los primeros intentos de encontrar la forma cerrada resuena el nombre de Arnold Sommerfeld, conocido matemático con mucho interés en la física, quien elabora una expresión asimptótica, conocida como el Lema de Sommerfeld, como lo presenta Chandrasekhar en 1936 en su clásico libro An introduction to the study of Stellar Structure, al igual que hace Donald Clayton en 1968 en Principles of Stellar Evolution and Nucleosynthesis. Estos últimos dos presentan aproximaciones y demás expresiones asimptóticas; la distribución de Fermi-Dirac es útil para estrellas degeneradas. Poco después de Sommerfeld, McDougall y Stoner en 1938, utilizando la máquina de calcular Brunsviga, encontraron otras expresiones asimptóticas y con métodos numéricos de aproximación integral elaboran una tabla de valores de Integrales Fermi-Dirac, siendo esta LA referencia en los años venideros.

Otro que resalta es Dingle (5) quien hace probablemente en 1957 la primera continuación analítica, es decir pasarlo a complejos, encontrando una aproximación utilizando residuos. La distribución Fermi-Dirac encuentra su aplicación “real” en semi-conductores, como muchos o todos de los ya mencionados buscaron utilizar (sí, ya desde ese entonces), siendo Blakemore (6) en 1982 alguien que sobresale en cuanto a encontrar una expresión de ajuste, una ecuación casi empírica que emulara el comportamiento de la Integral para rangos de interés en semiconductores. Tal vez la importancia de Blakemore es que es tal vez el primero en hacer una ecuación de este tipo, más tratar de hallar la solución cerrada de la Integral.  Utilizando métodos numéricos de aproximación, Natarajan y Mohankumar (7), en 1993, utilizan integración gaussiana aprovechando el poder computacional ya existente, encontrando valores para un rango realmente amplio del parámetro de degeneración.

Entonces, repasemos la cronología

Cronología

En el lapso de casi 75 años ninguno de estos autores hizo mención alguna de polilogaritmos o del autor original, hasta que Howard Lee lo hiciera en 1995. Esto ha sido fructífero para él pues muchos de sus artículos posteriores han tratado del uso de polilogaritmos en física y estadística.

\text{Li}_s(z)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n^s}
Polilogaritmo 

\text{Li}_s(z)=\displaystyle\frac{z}{\Gamma(z)}\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-z}
Representación integral del polilogaritmo

y, finalmente

\displaystyle\frac{1}{\Gamma(1+k)F_k(\eta)}=-\text{Li}(-e^\eta)
Representación de la Integral Fermi-Dirac en términos del Polilogaritmo.

Sin embargo, por lo menos en los primeros artículos en los que mencionó a los polilogaritmos no hizo mención del autor original. Srivastava (8) lo hace finalmente en el 2011, haciendo una revisión del trabajo de Lee y los polilogaritmos. Pero más que eso hace algo de justicia al autor mencionándolo.

Alfred Jonquière

de quien poco existe información de quién era (ni siquiera aparece en la biografía de matemáticos), no se ha encontrado de momento una imagen. Jonquière(*) publicó en ¡1889! su artículo Note sur la série \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^s}. Así que pasaron más de ¡100 años! antes de que se mencionaran los polilogaritmos como aplicación en estas áreas de física, esto a pesar de que hay algunas menciones del término polylogarithm en algunos libros.

Polylogarithm

Por lo que la cronología quedaría como

Cronología

Entonces, ¿podría haber sido un caso de desliz de no buscar en fuentes que no fueran del mismo idioma? Y otra pregunta sería, viendo lo prolífico que fue en cuanto a creatividad acerca del tema, ¿se hubiera publicado tanto respecto a aproximaciones de haber sabido que ya existía la expresión?

Puede parecer difícil de creer que nadie se diera cuenta… o quizás simplemente Jonquiere era una viajera en el tiempo.

(*) A. Jonquiere  tiene aparte un libro de acústica publicado en 1998. Sin embargo sigue sin haber sido tan difundido o conocido este y su trabajo en esta función especial.

Referencias:

  1. Borwein y Crandall Closed Forms: What they are and why we care. (2013)
  2. Fermi, E. On the Quantization of the Monoatomic Ideal Gas. (1926)
  3. Dirac, P. On the theory of Quantum Mechanics (1926).
  4. Shankar, R.  Principles of Quantum Mechanics (1994)
  5. Dingle, R. The Fermi-Dirac Integrals. App. Sci. Research (1956)
  6. Blakemore, J Approximations for Fermi-Dirac integrals… (1982)
  7. Natarajan y Mohankumar. On the numerical evaluation of generalized Fermi-Dirac integrals. (1993)
  8. Srivastava, Chaudhry (casi un ídolo) y Tassadiqq. Some extensions of the FM and BE functions with applications… (2011)
  9. Sí, también hice mi intento de encontrar una expresión cerrada (aquí o allá) que también usa la Zeta de Riemann y la Zeta de Hurwitz, ver (8).
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