Skip to content

El problema de dos cuerpos… bajo la frazada

25 diciembre, 2013

(Wolfram Demonstration de E. Zeleny agregada al final – 17Julio2014)

(PG-13)

Es una noche fría y es hora de dormir. Y es ese momento de irse a la cama, la cual también se siente fría al inicio. Sin embargo, poco tiempo de haberse tapado se va dejando de sentir frío de manera gradual. Será más rápido dependiendo de cuántas frazadas use uno para taparse, o de cuán calientes (que no dejan escapar el calor) sean estas.

cama

Esto podría modelarse como un problema de difusión de temperatura con dos fuentes si asumimos que son dos personas que se meten a la cama. La Ecuación de Difusión, o también Ecuación de Calor, sin fuente de calor, nos indica cómo se distribuye la temperatura en una región en el tiempo

\displaystyle\frac{\partial T(x,y,t)}{\partial t}=\alpha \nabla T(x,y,t)

donde \alpha es un coeficiente de difusión de temperatura del medio que nos interesa modelar. Sería, digamos, el aire atrapado bajo la frazada limitado a una región bidimensional.  Esta ecuación trata también del enfriamiento de un objeto con alguna configuración de temperatura inicial. (La solución de esta y otras ecuaciones, en distintas sistemas coordenados las vimos acá) Ahora nuestro problema involucra una superficie plana en la que se colocan dos fuentes de calor constantes (dos personas) bajo la frazada; claro, en la práctica la frazada cubrirá hasta el cuello, luego se reescalará gráficamente para que así sea. Estas fuentes de calor se incluyen en la anterior ecuación como un término extra

\displaystyle\frac{\partial T(x,y,t)}{\partial t}=\alpha \nabla T+H(x,y)

donde H(x,y) es la fuente de calor, en este caso dos cuerpos,  que podríamos definir de la siguiente manera asumiendo que las personas son una línea

cama conf

Se vería así si la frazada cubriera toda la cama y las personas. Luego se reescalará para la parte cubierta.

y

H(x,y)= I \,\left(\delta(x-x_1)+\delta(x-x_2)\right)\, g(y)

donde g(y)=1  para 0.15\leq  y \leq 1.85 , porque 1.70m cubriría a una persona promedio en algunas regiones. I está relacionada con la energía corporal emanada por la persona (a su vez, relacionado con los 70W liberados al dormir); al final, I  tiene dimensionales de Temperatura por unidad de tiempo. \delta (x) es la Delta de Dirac -que es 0 en todo valor de x, excepto en donde esté centrado, en este caso x_1 y x_2. Las  posiciones en x, x_1 y x_2 indicarían la posición de cada persona. Entonces para una persona necesitaríamos un solo Delta de Dirac,  y casi nada impediría poner Deltas de Dirac extra, por lo menos matemáticamente hablando…

Las condiciones de frontera (el problema tendría una solución general, pero estas condiciones son necesarias para que modele el problema que nos interesa) las obtenemos al decir que: usamos la frazada de manera tal que el calor no escape por los bordes. Eso es, que no haya flujo en los bordes. esto significa matemáticamente que:

\displaystyle\partial_xT(0,y,t)=\partial_xT(\text{ancho},y,t)=0

\displaystyle\partial_yT(x,0,t)=\partial_yT(x,\text{alto},t)=0

Además, ya que inicialmente el medio está frío hacemos: T(x,y,0)=0.  Combinando entre transformadas de Laplace (teniendo la condición temporal) y series de coseno (por las condiciones de frontera) se puede encontrar (y revisar) que la solución de este problema estaría dado por:

T(x,y,t)=\displaystyle\sum_{n,m=1}\frac{4I}{a\,m\,\pi}\left(sen\left(\frac{m\pi}{b}\text{sup}\right)-sen\left(\frac{m\pi}{b}\text{inf} \right)\right)

\displaystyle\times \left(cos\left(\frac{n\pi}{a}x_1\right)+cos\left(\frac{n\pi}{a}x_2\right)\right)\frac{1-exp\left(-t\,\alpha\left(\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{m\pi}{b}\right)^2\right)\right)}{\alpha\left(\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{m\pi}{b}\right)^2\right)}

\times cos\left(\frac{n \pi}{a}x\right)cos\left(\frac{m \pi}{b}y\right)

(donde sup e inf es la posición de los extremos de la persona, es decir, 1.85 y 0.15m de la base) que se vería mas o menos así:

heat cama

cama heat

que empieza frío, pero gradualmente alcanzará una mejor distribución que se siente a los pocos minutos de meterse a la cama. Así que digamos no está tan alejado de la realidad el modelo usado. Una mejora ahora sería incluir una fuente puntual extra de calor a los pies de las personas

cama cat

bueno, no tan puntual.

Heat-cliff

Muy bien, ahora colocamos a nuestra fuente puntual felina –felinus heatus– justo a la mitad del ancho de la cama y a la altura de los pies. ¿Cómo modifica esto a la Ecuación de Calor y su solución? Para empezar, la EDP es

\displaystyle\frac{\partial T(x,y,t)}{\partial t}=\alpha \nabla T+H_1(x,y)

donde H_1(x,y)=H(x,y)+H_g(x,y), con H(x,y)  de la misma forma que la ya definida, pues es la que modelaría a las personas, y H_g(x,y) es la que modela al gato. Según una búsqueda rápida, la temperatura corporal es un poco mayor que la humana, así que de momento dejarémos que irradie con la misma tasa. Entonces, esto hace

H_g(x,y)=I\, \delta \left(x-\frac{\text{ancho}}{2}\right)\delta \left(y-\text{inf}\right)

que modificará ligeramente la solución sumando un término extra

T(x,y,t)=\displaystyle\sum_{n,m=1}\left(\frac{4I}{a\,m\,\pi}\left(sen\left(\frac{m\pi}{b}\text{sup}\right)-sen\left(\frac{m\pi}{b}\text{inf} \right)\right)\right.

\left. \displaystyle\times \left(cos\left(\frac{n\pi}{a}x_1\right)+cos\left(\frac{n\pi}{a}x_2\right)\right)+\frac{4I}{a\, b}cos\left(\frac{n \pi}{2}\right)cos\left(\frac{m \pi}{b}\text{ inf} \right)\right)\frac{1-exp\left(-t\,\alpha\left(\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{m\pi}{b}\right)^2\right)\right)}{\alpha\left(\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{m\pi}{b}\right)^2\right)}

\times cos\left(\frac{n \pi}{a}x\right)cos\left(\frac{m \pi}{b}y\right)

Ahora, la presencia de esta nueva fuente ayudó a que la base de la cama se calentara más rápido, que también ayuda a que la temperatura aumente también un poco más que antes. (De hecho se necesitaron menos iteraciones que con solo dos personas)

heat cama 2

El efecto del felinus heatus es un tanto evidente.

(por alguna razón la calidad no quedó como en la anterior, me disculpo por ello.)

(Solución Heat-cliff va por el socio)

(¡Feliz año nuevo!)

———————-

Me fue grato encontrar en el Wolfram Demonstrations una animación inspirada en esta publicación.
Fue realizada por E. Zeleny  (@ezeleny en twitter) y el link lo siguen desde la figura

Solution of the Heat Equation for a Couple in Bed with a Cat

Anuncios
No comments yet

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: