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Guerras de Smartphones

24 agosto, 2013

Philip Maini, durante un curso en Cuba organizado por el CIMPA, mencionó lo siguiente, parafraseando, respecto al uso de modelos matemáticos:

Un modelo que, desde el inicio, encaja no dice mucho.

Un modelo que no encaja dice mucho de las suposiciones usadas.

Un modelo que encaja, ya no sirve.

Recordemos el modelo básico de crecimiento exponencial, el cual dejaba de predecir correctamente por no tomar en cuenta las limitantes espaciales o de alimentos.

Sistemas de EDs y Aplicaciones

Como aplicación de sistemas de ecuaciones diferenciales se usan los ejemplos de mezclas, circuitos eléctricos, y los modelos de competencia o presa-depredador. Estos últimos son favoritos por su aplicación a modelos de población, incluyendo poblaciones de pandillas.

Un sistema simple de competencia entre dos organismos puede modelarse por el siguiente sistema, donde X(t)Y(t), denotan las poblaciones de un organismo X, o Y, en el tiempo t:

\displaystyle\frac{dX}{dt}=a\,X(t)+b\,Y(t)

\displaystyle\frac{dY}{dt}=c\,X(t)+d\,Y(t)

Bajo este modelo se asume que las poblaciones compiten por los mismos recursos, pero no se comen entre sí, es decir, no interactúan. Cada ecuación indica, cuán afectado es el crecimiento de la población X(t) en presencia de la población Y(t); por ejemplo, el coeficiente b sería negativo porque la presencia de Y(t) limita el crecimiento de la población X(t), lo mismo podría decirse del coeficiente c en la segunda ecuación.  Los coeficientes $\latex a, d$ son positivos porque indican el crecimiento propio de cada población (un modelo de Malthus, podría decirse).

Si estamos con dos poblaciones que interactúan, digamos que una se come a la otra, entonces el modelo a utilizar sería de la siguiente forma (Modelo de Lotka-Volterra)

\displaystyle\frac{dX}{dt}=a\,X(t)+b\,X(t) Y(t)

\displaystyle\frac{dY}{dt}=c\,X(t)+d\,X(t)Y(t)

Interacción entre variables (organismos en este caso) suele denotarse por su producto. El ejemplo clásico es de zorros y conejos, X(t) e Y(t), respectivamente. La población de zorros aumentaría dado que estos cazan conejos, en este caso entonces, la constante b sería positiva, pero d sería negativa por la misma razón.

Smartphones (OS)

Diferentes compañías compiten en el mercado de Smarthphones -acá nos referiremos al Sistema Operativo (OS)-, siendo iOS y Android los de más renombre, que entraron a un mundo donde dominaba Blackberry. Sí, la historia es bastante más compleja y completa que esta, pero nos enfocaremos en estos tres sistemas. Entonces, el crecimiento de estos tres sistemas podrían modelarse por un modelo Lotka-Volterra modificado, porque al final de cuentas, cada sistema come clientes de los otros. Lo modificado es porque además el crecimiento del uso de un dispositivo con determinado OS depende de los clientes nuevos, y de los clientes que ya existían que esten satisfechos con la marca. Esto introducirá un término no lineal en el modelo.

Denotemos por I(t), A(t), B(T) la cantidad de dispositivos que usan iOS, Android, y Blackberry, respectivamente.

Entonces, para la tasa de crecimiento de dispositos usando iOS se usaría la siguiente ecuación:

\displaystyle\frac{dI}{dt}=r_I\,I(t)+r_{II}I^2(t)+r_{IA}I(t)A(t)+r_{IB}I(t)B(t)

donde, r_I es la tasa de crecimiento por nuevos clientes que escogen iOS; r{II} es una tasa de clientes que se mantienen fieles, o satisfechos, a la marca; r_{IA} es la tasa de clientes que se intercambien entre iOS y Android, que será negativa o positiva dependiendo de que tantos clientes se pasaron de una marca a otra, es decir Vienen menos Se van. Finalmente, r{IB}, denota la tasa de clientes que se intercambian entre iOS y BlackBerry. ¿Podrá adivinar el lector cuáles coeficientes serán negativos?

Las ecuaciones para Android y Blackberry tendrían la misma forma:

\displaystyle\frac{dA}{dt}=r_A\,I(t)+r_{AA}A^2(t)+r_{AI}A(t)I(t)+r_{AB}A(t)B(t)

\displaystyle\frac{dB}{dt}=r_B\,B(t)+r_{BB}B^2(t)+r_{BI}B(t)I(t)+r_{BA}B(t)A(t)

¿Cómo encontrar los valores? Algunos valores varían de un año a otro, a veces con algunos meses de diferencia. Procurando usar los valores más recientes,  tendríamos que un 61.5% de usuarios nuevos prefieren dispositivos que usen Android, mientras que Apple es escogido un 25.5% de las veces, y un 4.8% obtiene un BlackBerry. Estos datos obtenidos en este sitio, (Julio de 2012); Estos datos se usarán bajo la suposición de que trata de valores por año.

Para los coeficientes satisfacción del cliente podemos usar la siguiente tabla, obtenida en este sitio (Julio de 2013)

Mobile OS loyalty: how iOS, Android and others stack up

El método seleccionado, por sencillez, fue el de diferencias finitas. ¿Qué hay de los valores iniciales? En una búsqueda rápida y simple para tener una idea, se encontró en Wikipedia (si, lo siento) una tabla con las ventas históricas de distintos dispositivos, extrayendo la siguiente imagen

smartphone wars

De donde utilizamos como valores iniciales los circulados en rojo, obteniendo el siguiente comportamiento:

EDventas

Android en azul – iOS en rojo – Blackberry en verde

Comparemos con la gráfica de las ventas reales

ventasreal

En ambas, la caída de las ventas de Blackberry es notoria, mientras que iOS crece en ambas, pero en los eventos reales tiene un ligero decrecimiento. Recordemos algunas de las suposiciones que se han utilizado: que la tasa de intercambio entre dispositivos ha sido constante, que se tomaron como valores por año,  y que solo nos hemos concentrado en las ventas de los tres más importantes compañías.

¿Por qué no usar como valores iniciales los que estaban en amarillo? Porque con esos valores iniciales, Android se hubiera extinto rápidamente.

Android en azul – iOS en rojo – Blackberry en verde

¿Qué nos dice eso? El modelo dice mucho al no hacerlo: Indica que pasó algo especial entre el 2009 y 2010. Esto se corroboró al encontrar el siguiente dato:

” In 2010, Google launched its Nexus series of devices

 —a line of smartphones and tablets running the Android operating system,

and built by a manufacturer partner”

Eso aunado a una de las características principales de Android: que es de software libre y las comunidades de desarrolladores de apps.

Y tú, apreciable lector, ¿qué mejoras podrías hacerle al modelo?

 

Referencias

Mobile OS loyalty: how iOS, Android and others stack up, Julio 2013.

61.5% of first-time smartphone buyers opt for Android over iOS Julio 2012.

 

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