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“There’s a DE for that”

18 febrero, 2013

Poco después de mitad de año encontré un artículo [1] interesante de la aplicación de Reacción-Difusión, en sí una difusión con dinámica de poblaciones:

\frac{\rho_1(s,t)}{dt}=D_1\frac{\partial ^2\rho_1(s,t)}{\partial s^2}+r_1\rho_1(s,t)\left[1-\frac{\rho_1(s,t)}{K_1(s)}-\frac{\alpha_{21}\rho_2(s,t)}{K_1(s)}\right]-\gamma_1\rho_1(s,t)

\frac{\rho_2(s,t)}{dt}=D_2\frac{\partial ^2\rho_2(s,t)}{\partial s^2}+r_2\rho_2(s,t)\left[1-\frac{\rho_2(s,t)}{K_2(s)}-\frac{\alpha_{12}\rho_1(s,t)}{K_2(s)}\right]-\gamma_2\rho_2(s,t)

Donde puede reconocerse a la ecuación de difusión junto con un término extra, el del modelo de competencias de Lotka-Volterra. ¿Aplicado a qué? ¡Pandillas! Lo que se modela es como la densidad de crimen por parte de dos pandillas se distribuyen geográficamente mientras compiten; para la pandilla iD_i es la constante de difusión, r_i es la tasa de crecimiento, K_i la capacidad máxima,  \alpha{ji} la competencia entre pandillas y, finalmente, \gamma_i es la tasa de disminución de decaimiento de actividades . Este modelo fue aplicado a las pandillas de Los Ángeles. El origen de este tipo de ecuaciones, f_t(x,t)=D\nabla ^2f(x,t)+G(f(x,t)), de reacción-difusión puede encontrarse hacia Alan Turing en inicios de la década de los 50’s [2].

¿Qué buscan estos modelos? Como todo modelo busca tratar de entender un fenómeno y si es posible poder predecir comportamientos.  Tomé estas ecuaciones y simplificando algunos valores y asignando algunas condiciones (de frontera) -como el hecho que no hay difusión a partir del borde-, me propuse a resolverlas de manera numérica y de la manera más sencilla -diferencias finitas-, para obtener esta animación (hacer click sobre la imagen):

Dos poblaciones, a pesar de ser idénticas, la de la izquierda se ve afectada por su posición inicial

Dos poblaciones, a pesar de ser idénticas, la de la izquierda se ve afectada por su posición inicial

Al final, lo difícil es conseguir los datos reales para probar el modelo existente.   Y ese es probablemente uno de los tantos problemas acá, ni qué decir de financiamiento, que no es fácil acceder a los datos, o que sean compartidos. Este es un problema de poblaciones, aplicado a pandillas, que tendría aplicación a Guatemala, pero claro, también aplicable a la rica vida silvestre que se posee. Tristemente sigue como un campo sin aplicar a pleno.

Como nota aparte pero relacionada. Reciéntemente me enfermé de varicela y pensé si habría un modelo para ello. Claro, la respuesta fue sí, con PDE [3]. Así que casi cualquier cosa que se nos pueda ocurrir, desde dinámica de poblaciones de pandillas hasta el cómo se deshace un bombó [4]n puede representarse con una ED. Para lo que necesites “there’s a DE for that”.

Referencias:

[1] Brattingham, J. et. al. The ecology of Gang territorial boundaries. Criminology. vol 50(3), 851-885, Aug 2012.

[2] Miura, T. y Maini, P. Periodic pattern formation in reaction-diffusion systems: An introduction for numerical simulation. Anatomical Science International (2004) 79, 112-123.

[3] Garnet, G. y Grenfell, B. The epidemiology of varicella-zoster virus infections: a mathematical model. Epidemiol Infect. 1992 June; 108(3): 495–511.

[4] Windisch, A.,  Windisch, H., y  Popescu, A. “Sticky physics of joy: On the dissolution of spherical candies”   arXiv:1208.5925

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