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Alternativa de Fracciones Parciales: N/D

28 octubre, 2012

**Un error de signo corregido**

**Fuente agregada al final**

En esta entrada me saldré un poco del estilo usual. Quería compartir un método alternativo a Fracciones Parciales. ¿Por qué? Porque no recuerdo verlo con suficiente frecuencia en diversas fuentes -de hecho no recuerdo haberlo visto pero dejaré ese margen de error….

A veces uno encuentra en cálculo o en ecuaciones diferenciales fracciones del siguiente tipo

\frac{1}{(x-1)(x^2+2x+3)}

la cual hay que integrar o realizar una transformada inversa de Laplace. Típicamente uno aplicaría el método de Fracciones Parciales. Recordemos que este método es aplicable para una función racional N(x)/D(x) donde N(x) es un polinomio de grado estrictamente menor que el del denominador. En sí, el método buscar ir “en reversa”, por ejemplo \frac{1}{6}, que puede escribirse como \frac{1}{2*3}, puede separarse como la suma de fracciones \frac{1}{2}+\frac{1}{3}.  Entonces, para una función racional cuyo denominador ha sido factorizado, se propone una suma de fracciones con denominadores individuales y el numerador un polinomio, con coeficientes a encontrar, de grado menor en uno al del denominador . Aplicado a nuestra función racional anterior tendríamos que escribir

\frac{1}{(x-1)(x^2+2x+3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+2x+3}

donde al efectuar la suma del lado derecho de la igualdad, y simplificar, el numerador obtenido debe ser igual al numerador de la fracción a la izquierda de la igualdad. Así se llega a un sistema de ecuaciones donde las incógnitas son los coeficientes desconocidos.  Entonces tenemos

\frac{1}{(x-1)(x^2+2x+3)}=\frac{x^2(A+B)+x(2A-B+C)+3A}{(x-1)(x^2+2x+3)}

por lo que llegamos al sistema de ecuaciones

A+B=0

2A-B+C=0

3A=1

y al resolver tenemos que A=1/3, B=-1/3, C=-1. Finalmente tenemos que

\frac{1}{(x-1)(x^2+2x+3)}=\frac{1/3}{x-1}+\frac{(-1/3)x-1}{x^2+2x+3}

Sin embargo existe otro método el cual nos presentó un antiguo y gran profesor de ecuaciones diferenciales, Carlos Salvadó (QEPD). En ese entonces no hubo un nombre oficial al  método y que difícilmente he visto en otros lados. Es por esta razón que decidí compartirlo acá, y de momento le llamaré con el poco elaborado nombre método N/D.

Sea \frac{N(x)}{D(x)} una función racional donde N(x) es un polinomio de grado m y D(x) es un polinomio de grado n, con m<n. Sean \{\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\}, con \lambda_i\not=\lambda_j, las raíces del denominador D(x). Note que las raíces han de ser distintas. Entonces, la función racional puede ser rescrita de la siguiente forma

\frac{N(x)}{D(x)}=\displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{N(\lambda_i)}{D'(\lambda_i)}\frac{1}{x-\lambda_i}

donde D'(x) es la derivada de D(x). De este modo obtenemos términos simples, por lo menos unos más sencillos para integrar o hallar su transformada inversa de Laplace. Tiene una ventaja: se pueden usar todas las raíces ya sean reales o imaginarias. En nuestro caso particular tenemos las raíces \{1,-1-i\sqrt{2},-1+i\sqrt{2}\}, además N(x)=1, D(x)=(x-1)(x^2+2x+3), y D'(x)=3x^2+2x+1. Entonces escribimos

\frac{1}{(x-1)(x^2+2x+3)}=\frac{N(1)}{D'(1)} \frac{1}{x-(1)}+\frac{N(-1-i\sqrt{2})}{D'(-1-i\sqrt{2})} \frac{1}{x-(-1-i\sqrt{2})}+\frac{N(-1+i\sqrt{2})}{D'(-1+i\sqrt{2})} \frac{1}{x-(-1+i\sqrt{2})}

tras evaluar y simplificar un poco

\frac{1}{(x-1)(x^2+2x+3)}=\frac{1}{6} \frac{1}{x-1}+\frac{1}{-4+4 i \sqrt{2}} \frac{1}{x-(-1-i\sqrt{2})}+\frac{1}{-4-4 i \sqrt{2}} \frac{1}{x-(-1+i\sqrt{2})}

Se puede hacer una correspondencia entre este método y Fracciones Parciales, en algunos casos es evidente, por ejemplo para

\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}

y con el método N/D

\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{N(1)}{D'(1)}\frac{1}{x-1}+\frac{N(-1)}{D'(-1)}\frac{1}{x+1}

En conclusión, el método N/D puede expandir una función racional en funciones racionales simples de denominador lineal en base a sus raíces (distintas), sean reales o complejas.

Sitio de interés:

Para ver un poco más del método de Fracciones Parciales (y temas de ecuaciones diferenciales o cálculo) recomiendo el sitio Paul’s Online Math Notes.

Agregado Octubre 2013:

Reciéntemente me compartieron una fuente del método, o al menos uno muy parecido. El tema es llamado “Teorema de la imagen racional”, del libro Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, de Kiseliov, Krasnov, y Mararenko (Editorial Mir)

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