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Estrellas, conos y bastones, y el cómo vemos: de Hiparco a logarítmos, y la Ley Fechner-Weber.

25 enero, 2012

  De pequeño unos de los datos que quedaron grabados en mi mente en relación a la vista fue el de los conos y bastones. Años después, en libros astronomía, uno es introducido a la historia y definición de  magnitudes estelares. ¿Cómo relacionamos algo de lo que se sabe de la vista con las estrellas? Se sabe y dice que la visión humana es logarítmica, y no es sorpresa que las magnitudes estelares esten descritas a su vez por un logarítmo. Acá se hará la simple conexión entre ambas ideas a la vez de repasar algunas definiciones e introducir algunos conceptos.

Tenemos que ir en orden y empezamos con las magnitudes estelares. Recordemos que no se busca dar todo un curso de astronomía, sino cubrir las generalidades, especialmente si ya hay blogs más especializados en cubrir a detalle dichos tópicos.

Magnitudes estelares:

Hiparco (190BC-120BC) definió una escala de magnitudes para referirse al brillo de estrellas.  Esta escala era completamente subjetiva y tenía seis categorías de 1, muy brillante, a 6, muy débil (apenas perceptible). En esa época era mucho pedir el uso de decimales en la comparación.

Norman Pogson, en 1956, nota que la relación de brillos entre una estrella de magnitud 1 era 100 veces más brillante que una estrella  de magnitud 6 (cinco unidades de diferencia), utilizando un modelo logarítmico para su descripción.  Por alguna razón no es común encontrar su nombre acompañando la conocida ecuación de magnitudes. Si se tienen dos estrellas, una de magnitud m_1 y otra de magnitud m_2, con los brillos  F_1F_2, respectivamente, tenemos que la razón de brillos está dada por la expresión

\frac{F_2}{F_1}=100^{(m_1-m_2)/5}

la cual puede reescribirse para tener la diferencia de magnitudes

m_1-m_2=-2.5 log\left(\frac{F_1}{F_2}\right)

Generalidades del cómo vemos:

Pues, el sistema del ojo es complejo en sí, pero en  la parte básica de cómo percibimos la luz están involucrados dos juegos de células ubicadas en la retina: conos y bastones. La retina es la responsable de comunicar la información del nervio óptico al cerebro.

Los Bastones: son muy sensibles y son importantes para condiciones pobres de luz, es decir, la obscuridad; unos 92 millones de células de este tipo. Son monocromáticos.

Los Conos: son poco sensibles, pero son los responsables de percebir la luz de día, los colores; unos 4.6 millones de ellos. Hay de tres tipos para este fin, uno para cada color: rojo, azul y verde (el RGB).

En 1834, el fisiólogo alemán Ernst Weber y el psicólogo experimental Gustav Fechner describieron la ley del estímulo. Esta ley indica que la sensación del cambio en un estímulo, d p, es proporcional al logarítmo del cambio del estímulo, u, en sí,  \Delta ln(u). Escrito de otra manera:

d p=cte\frac{du}{u}

que equivale a

d p=k d ln(u)

donde k es una constante. Esta ley se aplica tanto a la audición como a la vista.

¿Cómo se relaciona la Ley de Fechner-Weber con la ecuación de Pogson de magnitudes de las estrellas?

Notemos que el cambio en el estímulo d p no es más que la diferencia de magnitudes, ya que esta fue una definición por su percepción subjetiva, m_1 - m_2. Continuando con el abuso de los diferenciales, podemos escribir el cambio del estímulo como d ln(u)=ln(u_1)-ln(u_2)=ln\left( \frac{u_1}{u_2}\right). ¿Cuáles son los estímulos? Los brillos F_1 y F_2. Combinando resultados obtenemos

m_1-m_2 = k ln\left(\frac{F_1}{F_2}\right)

por lo cual k , al escribirlo en  base logarítmica (10), equivale a -\frac{2.5}{ln10}, y así tenemos la conexión entre la ecuación de Pogson de magnitudes estelares y la Ley Fechner-Weber.

Referencias:

  • Carroll, B. y Ostile, D. (2007) “Introduction to modern astrophysics”  Segunda edición. Addison-Wesley.
  • Curcio, C., Sloan, K., Kalina, R., y Hendrickson, A. “Human Photoreceptor Tomography” J. of comp.  neurology 292:497-523  (1990).
  • Girod, B. “Human visual perception” (Lecture notes, Image and video compression)
  • Pillow, J. “Methods and introduction to vision” (Lecture notes, Perception)
  • Shen, J. “On the foundations of vision modeling I. Weber’s law and Weberized TV restoration”. Physica D 175 (2003) 241-251
  • How color blindness works” http://www.colour-blindness.com
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