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¿Adentro o afuera?

17 abril, 2019

Para un procedimiento de donde trabajo había resolver la pregunta


¿Cómo saber si un punto está o no dentro de una región?

Reduciendo más el problema, la pregunta se convirtió en

¿Cómo saber si un punto está a la derecha o a la izquierda (o derecha) de una línea?

Y la respuesta apareció de las relaciones y operaciones entre vectores, desde una simple idea conceptual y de allí todo lo demás cayó por su peso, y es lo que sigue.

La famosa regla de la mano derecha

Empecemos con dos vectores, \vec{v} y \vec{p}, el primero está definido por dos puntos que conforman a la línea principal o de referencia; nótese que estos son puntos fijos. La segunda está definida por uno de los puntos de la línea principal y el punto del que deseamos evaluar saber si está o no a la derecha o izquierda de la línea principal; nótese que el punto a evaluar es un punto cualquiera.

Si recordamos la Regla de la mano derecha, esta indica que asignando el primer vector con el dedo índice, y el segundo con el dedo medio, el pulgar te indica la dirección del vector resultante tras operar con el producto cruz (o producto vectorial), que también indica hacia dónde habría que girar el primer vector para “ir” hacia el segundo; o también en qué dirección se cierra la mano.

Ahora, llevando esta idea hacia las líneas que definen los límites de la región que nos interesa, vemos que si en cada segmento de línea todas giran en la misma dirección hacia el punto a evaluar, entonces este punto está DENTRO de la región. Con una línea que gire en dirección contraria, tenemos que el punto está AFUERA.

Eso es conceptualmente. Ahora, para llevarlo a código la operación que nos define el giro es el producto cruz entre los vectores de referencia \vec{v} y el vector que contiene al punto a evaluar, i.e., \vec{p}: \vec{v} \otimes \vec{p}.

\vec{v} \otimes \vec{p} =

<x_1, y_1, 0> \otimes <w_1,v_1,0>

=<0,0,x_1*v_1-y_1*w_1>

=  x_1*v_1-y_1*w_1  \hat{z}

Dado que nuestros puntos están todos en el mismo plano, por lo que el producto cruz resultante tendrá siempre una sola componente, y es el signo de esta la que nos interesa. Definimos que un signo negativo implica girar hacia la izquierda.

x_1*v_1-y_1*w_1 <0  \text{ giro a la izquierda}

De esta manera, si tenemos los puntos de los vértices que delimitan a nuestra región, podemos formar vectores de referencia que en secuencia evaluan si un punto P, tras formar un vector de evaluación, está a la izquierda y, por tanto, adentro.

¿Y si la región no es tan regular?

Si nuestra región no tiene una forma regular, tendríamos el problema de que un punto sea considerado afuera por alguno de nuestros productos cruz.

Para resolver o evadir ese problema, lo mejor es fragmentar la figura original en tantas figuras regulares como sea posible. De esta manera, si el punto está dentro de alguna subregión, entonces está dentro de la región completa.

Claro, aunque la idea sea sencilla, la fragmentación de regiones puede ser la tarea más engorrosa si esta es extensa (como un departamento/región). Pero de algún lado tienen que venir los datos y alguien tiene que hacerlo 🙂 Otro punto a mencionar es el tiempo que toma si se tiene una región muy fragmentada. Una táctica es encontrar maneras de focalizar la búsqueda, es decir, si un punto está por encima de los 14.5° pues la búsqueda ha de concentrarse en regiones que cumplan esas características.

Y bueno, esa es la idea sencilla. Podrán haber más eficientes o elegantes, pero eso ya será de cada quien.

Soundtrack del post

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Un poco de música para los ojos

5 junio, 2016

(actualización: agregado Muse)

Después de un hiato de unos meses, vuelvo a escribir esperando ir retomando continuidad, inspiración, y no tener interrupciones “ajenas a su servidor”. Y lo hago con algo ligero.

Un día le presté atención a las portadas de albúms de algunas canciones que escuchaba en Spotify del Discover Weekly, donde hay música interesante cada semana -como se puede sospechar de su nombre… y me pareció compartirlas con una descripción relacionada, esperando que puedan ustedes compartir alguna portada de la misma línea … ¿qué línea?

Pues portadas que puedan considerarse casi científicas, geek, nerdy, ¿me entienden?
Por lo personal, excluyo portadas de galaxias o nebulosas, porque en cierta manera, a pesar de ser muy bonitas de por sí, son muy…. ¿quemadas?… ¿mainstream? ¿me entienden?

Claro, son muy conocidas un par que mencionaré, pero espero que encuentren simpático y nuevas las demás. Y vamos

The Dark Side of the Moon

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¿En serio? Sí, DEMASIADO conocida, pero así funciona esto.Es un prisma, y la descomposición de la luz (blanca) fue descubierta por Newton.Les sugiero sacar sus prismas para jugar un poco y ver en acción algo que y a damos por hecho hoy en día.

¿Qué? ¿No todos tienen un prisma? Oh, lo lamento.

DSC01625.JPG

Unknown pleasures – Joy Divisionunknown_pleasures_joy_division_lp_sleeve

Sí, también es una portada conocida. Tanto que la Scientific American le ha concedido un espacio.Pero sí, la imagen de la portada del album de Joy Division corresponde a las un pulsar, específicamente del CP 1919.Un pulsar es (o puede ser) una estrella de neutrones que rota rápidamente, y la señal recibida son como las “luces de un faro”. No me quiero meter a detalles minuciosos, pero créanme que se puede poner tan interesante como para recibir y merecer Nóbel de Física

Canciones para una orquesta química – Los Planetas
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Ahora sí. En Spotify, una de las portadas que me llamaron la atención fue esta, de Los Planetas, mientras escuchaba la canción Cumpleaños Totalpreguntándome si las moléculas representadas tendrían sentido alguno, o si sería más con fines artísticos.Consulté para confirmar y responderme esas dudas y cito: (¡gracias, C.!).

El código de colores nada qué ver… Creo que es más artístico.Porque, digamos si todos los átomos rojos son carbono, los naranjas deberían de ser oxígenos, que competen octeto con tres enlaces, pero normalmente solo hacen dos en ese tipo de destructuras. Pero en la ilustración unos tienen tres y otros cuatro enlaces.Los amarillos han de ser hidrógenos. Yo creo que solo colorearon por colorear, y que los rojos y naranjas son carbonos, y que no representaron todos los hidrógenos.

Suponiendo eso, entonces sí, son compuestos reales.

Suponiendo lo que te dije:
1. Rojo y naranja son carbonos (porque no hay elementos que hagan todos los enlaces que se muestran ahí)
2. Faltan hidrógenos (hay demasiados octetos incompletos)Hay un propileno

molcula-del-propileno-con-frmula-qumica-22641700

“¿Crees que es más con fines artísticos?”

Sí, es más con fines artísticos.

Talkie Walkie – Air

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El cuarto album del duo francés Air es Talkie Walkie.

Aunque las notas parecen a la escritura de Einstein (¿o son ideas mias?), no logré encontrar la fuente del arte de este album.

¿Alguno de ustedes podrá identificar las expresiones?

Salmon Dance –  Chemical Brothers

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salmon dance

Aquí el tip fue Orion, en la esquina inferior derecha, aunque no está completo. Luego, a la izquierda estaría Eridanus, para terminar en α Eri, o Achenar.

Cabe mencionar que está al revés si se busca en un mapa estelar tradicional.La imagen de la derecha fue tomada de Google Earth, modo Sky.


(Esta siempre me saca una sonrisa)

This is it – The Strokes

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Esta es la portada del album debut de The Strokes (2001), en su edición estadounidense *. La imagen corresponde a partículas en una cámara de burbujas en el Big European Bubble Chamber del CERN. (Agregada al post original gracias a la sugerencia en twitter de Isa B.)

* Porque por conservadores no les pareció apropiada la original, aunque a algunos sí nos/les parecía artística.

Finalmente….

 aunque no es una portada propiamente, sino el libro entero. Me refiero a la edición especial de Amnesiac, de Radiohead. La gracia que tiene es que es un libro de biblioteca, de la “Nosuch Library”, con su tarjeta con firmas.

Díganme si no es nerdy. (Ayuda: Lo es)

Es todo un arte (bueno, soy un fanático, ¿qué querían?).
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Y bueno, espero que hayan disfrutado de esta nota un tanto ligera y distinta a lo acostumbrado.

 

SIMMAC 2016 – Big Data

24 febrero, 2016

baner XX SIMMAC

En esta semana -23 al 26 de Febrero- se está llevando a cabo el vigésimo Simposio de Métodos Matemáticos Aplicados a Ciencias, SIMMAC, una actividad que se realiza cada dos años y que, según se mencionó en el discurso de inauguración, ha crecido de una decena de expositores a casi 200, tratando diversos temas, a saber: Biomatemáticas, Matemáticas Financieras, Optimización, Investigación de Operaciones, Análisis Numérico, Probabilidad, Estadística, entre otras.

La conferencia inaugural estuvo a cargo de Oldemar Rodriguez y fue titulada como “Relación entre Big Data, minería de datos, análisis de datos y estadística”, donde aclara algunas de las características que definen y diferencian al llamado Big Data de la estadística.

Humor: “turn your data into big data by changing your file extension from xml to csv”
(visto en twitter, fuente no encontrada)

De aquí en adelante me baso en la charla casi literal, de las anotaciones que consideré llamativas, colocándolas en itálicas lo dicho por Rodriguez, y lo que no, es mi complemento o interpretación.

Rodriguez – ¿qué es big data? Suena más a marketing… dicen que si las empresas no se cambian a big data se mueren… que si es sólo una moda.

R – una manera de definirlo es cuando la Cantidad de datos llega a tal punto que SQL no es capaz de procesarlos.

R- Pues para que algo se considere big data, tiene que ser información – que se genera de manera – activa, caracterizada por: volumen, velocidad (de generación de datos),  y su variedad -de tipo de datos.

R- ¿cómo ha evolucionado? En cantidad, por su evolucion exponencial; lo que es grande hoy, no lo será mañana. Desde 1970 a 1990 se le conocía como analisis de datos (exploratory data analysis/ entra SQL). De 1990 a 2000, entra la  olap (online analytic processing), donde cambió la noción de, a partir del cúmulo de datos, hacer una operación cada vez para ahorrar espacio, al ya tener realizada la operación para ahorrar tiempo. Ya despúes del 2000 empieza la transición de llamarse mineria de datos a ser big data.

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El manejo de Big Data necesita conocimientos integrados -“hasta de hackeo”.

R – ¿Quienes usan realmente big data? Las Redes sociales y La Banca.

R – Big data requiere de big analytics. Análisis de datos simbólicos, de transformar o compresionar datos a algo mas manejable. Se cambia de la perspectiva de tener “datos” a tener “un concepto”. Por ejemplo, una persona es el concepto, sus gustos, un banco pasa ya no hablar de transacciones, sino de clientes. A la Banca le interesa también por el concepto de préstamos, para saber si un cliente tiene deudas en otros bancos.

R- Esto empieza a diferenciar a la mineria de datos de la estadística, por transformar datos en conceptos, para una mejor toma de decisiones.  Además, la mineria trata de automatizar el análisis, se cambia a tener una metodología, definir algoritmos matemáticos. Ya no es encontrar un modelo, sino un algoritmo.

R-Otra diferencia de la mineria respecto de la estadística, es que ya no supone un tipo de distribución –por ejemplo, una distribución normal-. También es un distintivo la optimización, interesa más la interpretación, busca ser predictivo más que descriptivo. Se basa en las probabilidades de eventos. Es más, esto se ha vuelto parte de las cláusulas legales –dado que algunas empresas esperan un sí o no

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Rodriguez en la sesión de preguntas acerca de cómo empresas usan el big data: – Google mapea todo el internet cada 15min y lo guarda en sus propios servidores. Cuando uno hace una búsqueda, Google busca en sus servidores. Cuando en los resultados un enlace no funciona, es porque funcionaba cuando Google hizo el mapeo y se cayó en el transcurso de dicho último mapeo.

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Rodriguez también menciona que con el surgimiento del Big Data, varias empresas han empezado a requerir de matemáticos. En esto puedo dar comentario de primera mano pues he visto que algunas empresas han creado -HASTA AHORA- departamentos de investigación y desarrollo, para el análisis de datos. Aunque los datos han sido grandes, me atrevería a decir que aún no llega a los requisitos de ser Big Data per se.

Latinoamérica aún no está consciente de cuánto progreso pueden aportar físicos y matemáticos en casi toda una variedad de áreas, aún se hacen estimaciones “al ojo”, cuando podrían tener más precisión bajo un análisis cuidadoso y, por qué no, científico.

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(chiste obligatorio)

———————————————–

En otros temas, durante el SIMMAC expondré brevemente de la investigación que junto a la Dra. P. Pennigton estamos realizando respecto al Mal de Chagas, que también escribí algo para la #CienciaLatina de la Red Latinoamericana de Blogs de Ciencias, RedLBC.

Hasta pronto.

*Quedo debiendo una segunda parte acerca de wavelets, de repente quedé sin inspiración en ese entonces, y esperaré a que vuelta para hablar de ello en su momento.

Wavelets, Primera Parte: Ingrid Daubechies

15 octubre, 2015

Tuve un primer acercamiento a las wavelets en un curso, de aquellos que en ese momento sufres -con cierto gusto-, pero tiempo después le aprecias un poco más. Así que empecemos dejando claro que aunque no sea un experto total en el tema me parece importante compartir y a lo mejor alentarles a profundizar más en él. Esta entrada es en dos partes, la segunda tratará un poco más de los detalles de qué es una wavelet (me rehuso a llamarle ondícula) y sus aplicaciones-máxime cuando vi reciéntemente su uso en… biología-, en esta me enfoco en una de las pioneras en el área: Ingrid Daubechies.

El 13 de Octubre se conmemora el día de Ada Lovelace, considerada la primera programadora, y que celebra los avances de mujeres en áreas de ciencia, tecnología, ingeniería, y matemáticas. Básicamente, STEM. Como comentaba en tuiter, la primera vez que supe de ella fue en el colegio. Nuestro profesor de programación nos entregó un resumen de la historia de la computación donde la menciona como quien programaría la máquina Analítica de Charles Babbage. Por si no fuera sorprendente de por sí, luego encontraría que era hija de Lord Byron -la historia es más compleja e interesante aún. La historia humana de una u otra manera ha influenciado en sus logros.  Regresando al tema del día de Ada, y entre tanta mención importante que vi en tuiter,  me pareció interesante que no mencionaran a Daubechies por lo que me pareció prudente escribir esta nota. (tal vez haya alguna mención, pero ciertamente no abundante como otros nombres)

Preliminares

Brevemente, en el lenguaje más de calle (aja, claro), podríamos decir que una wavelet está emparentada con las Transformadas de Fourier, la cual hace un cambio del dominio del tiempo a una de frecuencia, esto en el contexto de señales. Pues una wavelet puede trabajar con ambas al mismo tiempo. Puede incluso manejar singularidades. Y entre las aplicaciones varias, está la compresión de imágenes o suavizamiento de curvas de datos -remover ruido-, o incluso resolver ecuaciones diferenciales. Hay distintas maneras de tratar de definir una wavelet, y tal vez no todos estén satisfechos con una descripción como la de acá.

En el primer caso, el manejo de huellas dactilares es uno de las primeras menciones clásicas de su uso (1). Imaginen esto, el FBI necesita analizar una huella tomada en el punto A, y la tiene que enviar a alguna sede para que se coteje con la base de datos de huellas, y se tiene que hacer rápido. Las wavelets permiten comprimir la imagen sin perder calidad, para que su envío y comparación sea lo más pronta posible.

Para el segundo caso, veamos la imagen, donde los datos originales están en rojo, donde hay mucho salto, y la curva suavizada está en azul.

Los datos originales están en rojo, el suavizamiento en azul. Imagen de Intraday Trading : Line Wavelet Plus EMA

Las wavelets utilizan bases ortogonales, aunque hay excepciones.Las bases es, digamos, son nuestras unidades con las que mediremos, dibujaremos, o describiremos algo. Por ejemplo en una manera muy simplificada, una coordenada de un punto en dos dimensiones se puede describir por cuánto de su componente horizintal tiene, y cuánto de la vertical. Existen distintos tipos de wavelets, según lo que se desee hacer. Existen las wavelets Haar, Coiflet, Daubechies, y otras con apellidos de quienes definan la base a utilizar en la wavelet. Sí, Ingrid Daubechies tiene una wavelet con su nombre.

Entonces, resumiendo

Wavelets forman una herramienta que permiten la descomposición de un objeto matemático
o una imagen en componentes más simples.
Esto permite que imágenes ricas en información puedan ser transmitidas sin pérdida de calidad. (4)

En una entrada siguiente, la segunda parte de esta, describiré un poco más de qué es una wavelet y algunas aplicaciones.

Ingrid Daubechies

Reciente miembro de la Academia Nacional de Ciencias e Ingeniería de Estados Unidos, y expresidenta de la Unión Internacional de Matemáticas (IMU).En el 2011 fue reconocida con el premio  John von Neumann dado por el Congreso Internacional de Matemática Aplicada e Industrial (ICIAM/SIAM), y en el 2012 por la Fundación Fronteras del Conocimiento de la BBVA, por

“influenciar enormemente varios campos de aplicación,
desde compresión de datos hasta reconocimiento de patrones.”

Nacida un 17 de Agosto, hija de una criminalista y de un ingeniero civil, a quienes en su libro “Ten lectures on wavelets” les dedica

“To my mother, who gave me the will to be independent.
To my father, who stimulated my interest in science”

Es Doctora en Física, y matemática “por exploración”, en el sentido que encontró aplicaciones de las matemáticas fuera de su área inicial, motivada en encontrar nuevas herramientas que ayudara a la física

… even as a physicist, my work was very theoretical, very mathematical.
I became interested in applications of mathematics outside physics
(especially in engineering),
and that is how I am now considered a mathematician.

La historia de las wavelets surge en la geofísica a inicios de 1980, cuando J Morlet buscaba hacer un análisis alternativo a la Transformada de Fourier, tomando en cuenta al mismo tiempo el tiempo y la frecuencia. Poco después, en el momento en que sale del área de la geofísica “¡la wavelet nació!” (3). Ella, Daubechies, entra en escena en 1985, buscando hacer una descomposición de señales y definiendo una base con ese fin, obteniendo aplicaciones en la estandarización de compresión de imágenes JPEG 2000, y para comprobaciones de teorías matemáticas (4).

Estos avances le han resultado en reconocimientos como los antes mencionados y como el siguiente, por la Academia Nacional de Ciencias de Estados Unidos con el premio a la excelencia en investigación en Matemáticas, y la primera mujer en obtener dicho honor,

… for fundamental discoveries on wavelets and wavelet expansions
and for her role in making wavelets methods a practical basic tool of applied mathematics.

Tratamiento de imágenes no se queda en lo (producido en) digital, sino que también se ha enfocado en aplicar wavelets para el análisis y la restauración de pinturas, ¡arte!  (Vea su CV en este y en este)

Después de hablar muy brevemente de Ingrid Daubechies, matemática, física, aplicada en ingeniería y arte…. ¿No les sorprende que no haya suficiente mención de ella para el Día de Ada Lovelace?

Referencias

(1) Walker, James. A Primer on WAVELETS and Their Scientific Applications

(2) Biografía de Ingrid Daubechies. Este sitio tiene biografías de matemáticas importantes, uno de mis favoritos.

(3) Daubechies, I. Where do wavelets come from? PROCEEDINGS OF THE IEEE, VOL. 84, NO. 4, APRIL 1996.

(4) Publicación del Notices of the AMS del premio BBVA (2013).

Mosquitos

8 agosto, 2015

Entonces estás en casa. Hay días en que abres la puerta para tener aire fresco, y hay otros días en que no sientes la necesidad de hacerlo. Cuando lo haces, hay veces que más de algún mosquito (zancudo) entra; supongamos además que estás el tiempo suficiente en casa para que esto ocurra. Las zancudas  Los zancudos hembras son las que pican, algunos son portadores de dengue o de chikungunya, por lo que hay que tratar de evitarles; lo siento, no encontré algo que confirmara lo válido de decir zancuda. La cuestión es que zancudo visto, zancudo muerto.

“Mosquitos transmisores del virus CHIKV” como nos cuenta Felix Moronta en su entrada Chikungunya en América (click en la imagen).

Así que intentas cazarles, por lo menos, a mano. Pero si tienes mala puntería una de cada diez veces le atinas. Un día descubres que un zancudo con tu sangre es más fácil de cazar por volar más lento, lo cual no es deseable. En otro mejor momento descubres que si tienes lo suficientemente mojadas las manos, es más fácil atraparlos.mosquito

Yo me imagino que las manos secas han de generar turbulencia y corrientes de aire que favorecen al insecto empujándolo fuera de las manos, pero que las manos húmedas han de reducir este efecto. Sería interesante ver esto en cámara lenta con humo.

En fin. Entonces, hay alguna probabilidad de que el mosquito entre a la casa en un día que abras la puerta. Digamos que si es temporada ligeramente calurosa, hay un 75% de probabilidad de que abras las puerta por día. De estas veces, digamos que hay una probabilidad de 60% de que entre al menos un mosquito, por día. Habiendo mosquitos dentro de la casa, cada día tratarás de atrapar alguno acertando un 10% de las veces (¡malazo!), -está bien, te daremos crédito, un 20% de las veces -pero si tienes la mano mojada aumentas la probabilidad a digamos 35%. Todos estos valores me los invento. Sería agradable medir los intentos y contar los insectos que entran cada día.

Así que hacemos un simple código (digamos en Mathematica, pero que hasta en alguna hoja electrónica se podría hacer) y un generador de números aleatorios para ver con cuántos mosquitos terminamos después de 30 días, habiendo al inicio 2 mosquitos dentro de la casa. Veamos tres gráficas con y sin las manos mojadas y a ver qué sucede.

Bono: un 5% de las veces que tratas de matar zancudos por día, logras atrapar a dos; 10% si tienes las manos mojadas.

mosquitos seco 3

Con manos secas.

Y con las manos mojadas

mosquitos moja 1 mosquitos moja 2

Con manos mojadas.

Claro, solo tres corridas por condición, mano mojada o seca, serán pocas para ser significativo. A pesar de eso vemos que, asumiendo que es válido y significativo tener las manos mojadas, lo mejor será mejorar nuestra puntería y al menos tendríamos pocos o ningún mosquito después de 30 días.

¿Qué otros factores influirán a que entren mosquitos o que los atrapes?

¿Qué otro fenómeno le puedes atribuir probabilidades y hacer algo similar?

En Excel, por ejemplo, tiene predefinida la función Rand(), la cual devuelve un valor entre 0 y 1. La función condicional If() -o Si() en español- evalúa una condición, si es cierta ejecuta una acción, de lo contrario evaluará otra. Así que se puede armar una condición del siguiente estilo: Si el número aleatorio es menor de 0.2, entonces devuelve 1, de lo contrario devolverá 0.    En la celda, escribe:     =IF(RAND()<=0.2,1,0)     y mira qué ocurre. Lo que decimos es que si el número aleatorio “cae” entre 0 y 0.2, entonces damos por hecho que algo ocurre, y a esto lo traducimos como 1 por nuestro gusto, de lo contrario será 0. Prueba y juega.

(Esta entrada es mucho por diversión, pero da una buena idea de simular eventos con probabilidades)

Otras referencias

  1. Chikungunya, Información para el público” de la CDC
  2. Control del mosquito del dengue” de la CDC
  3. Felix Moronta, de la Familia de la #RedLBC, con su entrada “El virus Chikungunya surge en América“.
    Sigue a la Red en twitter @redlbc.

Transporte y Difusión de Contaminantes

15 junio, 2015

La entrada de hoy está en parte motivada por recientes eventos especiales. Específicamente mostramos la idea de Transporte y de Difusión de una solución o contaminante en un medio, por separado y combinados, procurando como es usual y en lo posible, mantener la idea sencilla y mostrar las ecuaciones matemáticas relevantes.

Difusión

El ejemplo diario de difusión lo vemos cuando usamos una servilleta para secar un líquido, esa característica “absorbente” que tiene el papel. Algunas servilletas absorben mejor que otras y podríamos pensar que aunque el fenómeno de difusión es el mismo, hay una “difusividad” o “dispersión” mayor en una que en otras.

Una de las ecuaciones famosas en Ecuaciones Diferenciales Parciales es precisamente la Ecuación de Difusión

\frac{\partial u}{\partial t}=D\nabla^2u

donde u=u(\vec{x},t) nos dice, por ejemplo, la concentración de un contaminante en cualquier punto del espacio, con coordenadas \vec{x} y en cualquier tiempo t, y donde D es la Constante de Difusión. Cada vez que queremos hablar matemáticamente de un fenómeno que se dispersa o difunde en el espacio estamos hablando de $latex\nabla^2u$, que en entradas anteriores la hemos visto (para describir la distribución de pandillas). En su versión más sencilla en una dimensión espacial estamos hablando de

\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

Como ejemplo para visualizarlo, tomemos un vaso vacío al que dejaremos caer, justo en el centro, cierta cantidad de liquido. La experiencia nos dice que el líquido (ignorando turbulencias) de a poco irá de estar acumulado en el centro a distribuirse uniformemente dentro del recipiente. Esto equivale a decir que en la frontera del vaso no habrá flujo una vez llegue el líquido al borde.

Debería conseguir un dibujante...

Líquido cayendo en vaso

(Aunque la geometría nos diría que hemos de considerar otras coordenadas, si nos enfocamos en el corte transversal del vaso, podemos utilizar nuestra expresión de antes.)

Asumiendo una constante D=1, nuestra expresión se vería así en distintos tiempos. En el tiempo 0.05 ya prácticamente se ha distribuido el líquido en el recipiente. Aunque esta EDP tiene una solución fundamental (3), la resolvemos por medio de Separación de Variables.

Difusión (con constante igual a 1)

Difusión (con constante igual a 1)

¿Qué efecto tiene el valor de la Constante de Difusión?

Veamos una constante menor y mayor que la anterior.

Difusión con constante menor a 1.

Difusión con constante menor a 1.

Difusión con constante mayor a 1.

Difusión con constante mayor a 1.

Notemos que mientras más grande sea el valor de la constante se necesita menos tiempo para difundirse o distribuirse que con una constante menor, que es un tanto intuitivo.

Entonces, si hay un contaminante en un líquido es vital saber cuán rápido se dispersará para tomar medidas de control y preventivas, además de que si al inicio está altamente concentrado, cuán peligroso será cuando se haya disuelto en el medio.

Transporte

En un medio ideal, y como su nombre indica, la idea del Transporte de “algo” es que avance según una velocidad dada, e idealmente sin pérdida. El ejemplo que más rápido se me viene ahora es del transporte de pulsos, como el que se da en una cuerda, o un látigo, el movimiento de mano que hará que eventualmente a la punta llegue “el latigazo”.

La expresión, en una dimensión espacial, que modela el transporte de un compuesto en un medio está dado por

\frac{\partial u}{\partial t}=-c\frac{\partial u}{\partial x}

Pensemos en una colina con dos distintas inclinaciones, Si estamos en la cima de una colina, solo podemos caminar a una velocidad, y queremos bajar pronto, pues tomaríamos aquella con una pendiente más pronunciada (asumiento que es seguro, claro 😉 ), pues el término \frac{\partial u}{\partial x} nos indica eso, es el gradiente (acá, en una dimensión). Entonces si hemos de transportarnos en un líquido, buscaríamos los “atajos” en el camino.

Caminos con distinta inclinación

Caminos con distinta inclinación

Si lo vemos como un pequeño pulso en un extremo al inicio, es decir u(x,t), y que se propagará sin detenerse (o dispersarse), nuestra EDP tiene una solución simple

u(x,t)=f(x-ct)

y que lo ilustramos acá

Pulso transportado.

Pulso transportado.

Transporte y Difusión (Advección)

Si tenemos un contaminante que cambia de lugar pero que no se disperse o difunda con facilidad, será fácil de controlar dado que se concentraría en una región prevista en cierto tiempo. Si tenemos un contaminante que se difunda, pero que no se transporte, sería relativamente sencillo cercar o limitar al contaminante. El problema ahora es si no solo se transporta sino que también se difunda, y matemáticamente también deja de ser tan simple, al menos la solución. Casi como esperaríamos estaríamos hablando de combinar nuestras expresiones de Transporte y Difusión

\frac{\partial u}{\partial t}=-c\frac{\partial u}{\partial x}+D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

En sí, la expresión es sencilla (y hasta cierto punto… bonita), sin embargo la solución (analítica) no es tan trivial, pero que afortunadamente existe, y gracias a Ogata y Banks (1), según menciona Runkel (2)

u(x,t)=\frac{c_o}{2}\left(erfc\left(\frac{x-ct}{2\sqrt{Dt}}\right)+Exp\left(\frac{cx}{D}\right)erfc\left(\frac{x+ct}{2\sqrt{Dt}}\right)\right)

donde el segundo término “puede ignorarse” (Where boundaries are symmetrical the solution of the problem is given by the first term of equation -nuestra ecuación-. Ogata y Banks), y justamente eso hacemos para mostrar el efecto de un contaminante que se vierte en un extremo de un río, por ejemplo a 100 unidades de concentración, y que se transporte a distinta velocidad y coeficiente de dispersión.

Solo Transporte

Virtualmente solo Transporte. Tiempo en horas y distancia en kilómetros.

Solo Difusión.

Virtualmente solo Difusión. Tiempo en horas y distancia en kilómetros.

Difusión y Transporte.

Difusión y Transporte. Tiempo en horas y distancia en kilómetros.

Para ver la derivación de las anteriores expresiones vea este sitio.

Referencias

  1. Ogata, A. y Banks, RB. (1961) A Solution of the Differential Equation of Longitudinal Dispersion in Porous Media.
  2. Runkel, R. (1996) Solution of the Advection-Dispersion Equation: Continuous Load of Finite Duration
  3. Evans, L. Partial Differential Equations.

Dedicatoria y Motivaciones

Esta entrada en parte está dedicada para un grupo de estudiantes de la Carrera de Ing. en Alimentos y de Ing. en Industrial quienes fueron introducidas al fenómeno del transporte y difusión en diversos proyectos del curso de Ecuaciones Diferenciales.

Río de La Pasión, Petén.

Río de La Pasión, Petén.

sayaxché

Peces muertos por la contaminación con pesticida en el Río La Pasión, Petén.

Muy en especial está motivada por la contaminación reciente con el pesticida malatión que ha sufrido el Río La Pasión, matando a peces o tortugas primordialmente, afectando al medio de vida de los pobladores. Algunos intentaron incluso salvar a cuanto pez fuese posible, algo que me pareció impactante. Este es un Ecocidio que espero no quede en el aire entre nubes de impunidad. Para tener una idea del impacto en la región vea este reportaje.

(otras noticias Investigación a Repsa,  Palma Africana: La farsa de la responsabilidad social, Los reportajes de Plaza Pública respecto a la Palma Africana)

la pasion

Ecuaciones Bipolares

12 abril, 2015

Continuamos mostrando diversas aplicaciones de las matemáticas, y en especial de las ecuaciones diferenciales, como hemos hecho con anterioridad para el área de epidemiología (acáacá o este), poblaciones, morfogénesis, y otras.. La entrada de hoy gira alrededor de un artículo que me compartieron tras un curso de Ecuaciones Diferenciales en Biología y Medicina (CIMPA), y que trata del trastorno bipolar, mostrando algunos puntos y ecuaciones de manera breve o superficial.

Recordemos que los modelos matemáticos al inicio buscan entender un fenómeno, primero a grandes rasgos con suposiciones simples que luego se va especializando más y, por lo tanto, haciendo más complejo al modelo en sí. Y como habría dicho Phillip Maini, si el modelo no se asemeja a la realidad, es porque no se ha entendido al fenómeno, y una vez lo hace, ya no sirve, porque ya no te dice nada más, y es en este punto donde se busca profundizar y elevar la apuesta en cuanto a las suposiciones.

Empecemos

¿Qué se siente?: folie à double forme

(folie à double forme: en 1854 Baillarger describió a la manía y a la depresión como una sola enfermedad (3))

En el trastorno bipolar, o enfermedad maniaco-depresiva, la depresión y la manía son polos extremos de un mismo desorden anímico, y es un desorden (cerebral) que causa “cambios inusuales de ánimo, energía, niveles de actividad, y la habilidad para realizar tareas diarias” (1), donde un estado excitado o de mucha alegría es un episodio maniaco, y uno de tristeza es un episodio depresivo, aunque episodios explosivos o de mucha irritación pueden presentarse (1).  Estos cambios pueden darse cíclicamente con períodos desde días, semanas o incluso años (3), donde sus causas moleculares aún están en investigación.

Estados Depresivos y Estados Maniacos periódicos

Estados Depresivos y Estados Maniacos periódicos. Gráfico de Goldbeter (2)

Algunos síntomas pueden ser (1) :

Síntomas de la manía o episodios maniacos  Síntomas de la depresión o episodios depresivos:
Cambios de humor

  • Largos períodos de gran alegría (o feeling “high”)
  • Irritabilidad extrema

Cambios de comportamiento

  • Hablar muy rápido, pasando de una idea a otra,
    tener pensamientos cambiantes.
  • Distraerse con facilidad.
  • Aumento de actividades
    como empezar nuevos proyectos.
  • Sentirse excesivamente inquieto.
  • Dormir poco o no sentir cansancio.
  • Tener noción irreal de las habilidades propias.
  • Comportarse de manera impulsiva y participar en actividades placenteras de alto riesgo.
Cambios de humor

  • Largos períodos de mucha tristeza
  • Pérdida de interes en actividades que antes se disfrutaran, incluyendo el sexo.

Cambios de comportamiento

  • Sentirse cansado o desacelerado.
  • Tener problemas para concentrarse, de memoria, o para tomar decisiones.
  • Sentirse cansado o irritable.
  • Cambios de hábitos de alimentación, para dormir, u otros .
  • Pensamientos o intentos suicidas.

 

Dadas sus características, el trastorno bipolar puede clasificarse en (1,2):

  • Tipo I
    Episodios de depresión y al menos uno de manía
  • Tipo II
    Varios episodios prolongados de depresión y al menos uno de hipomanía
  • Trastorno ciclotímico
    Muchos episodios de hipomanía y síntomas depresivos
  • Trastorno bipolar no especificado
    Episodios depresivos y de hipomanía cuyos síntomas pueden alternar con rapidez

Imagen de Lancet tomada de Alexiustoday (3)

Dado que es un tema que requiere de mayor profundización, puede suceder que cualquier síntoma encaje con cualquiera de esos puntos, por lo que no es fácil diagnosticar (2). Y para complicar la situación, la dificultad afecta también la diferenciación entre Bipolaridad y la Depresión como tal. Goldbeter (3), cuyo artículo A model for the dynamics of bipolar disorders es en el cual nos enfocaremos, indica que justamente un mal diagnóstico y, peor aún, combinado con medicamentos antidepresivos termina provocando episodios maniacos, en parte porque entre 20 y 40% de personas con bipolaridad pueden verse afectadas con manías inducidas por antidepresivos (4)

el MoDelo

En otras entradas hablábamos que para empezar a estudiar un fenómeno una manera es construirlo desde suposiciones sencillas y usando lo que se sepa. Esto es precisamente lo que Goldbeter hace, empezando por mantener a los dos episodios, maniaco y depresivo, como opuestos uno del otro

The purpose of this paper is to examine the types of mechanism

that are capable of accounting for the cyclic alternation between

mania and depression. To this end a minimal, qualitative model is

proposed for the dynamics of bipolar disorders

sigue

The observation that mania and depression exclude each other suggests

that such mutual inhibition can lead to bistability in which two stable

steady states, separated by an unstable steady state, coexist in

a given set of conditions.

Con el fin de relacionar ambos estados, la manía, M, y la depresión, D, Goldbeter utiliza un sistema de ecuaciones diferenciales para modelar el cambio, asumido continuo, de un estado al otro. Y siendo más específicos lo hace basado en ecuaciones de Michaelis-Menten (que relaciona velocidades de reacción dadas las concentraciones de algún sustrato).  Los resultados si son similares a la realidad, puede dar pie a investigaciones futuras como guía de por dónde buscar.

Michaelis-Menten E+S=ES->E+P

La ecuación de Michaelis-Menten indica que la velocidad de reacción para obtener un producto P no solo depende de la concentración inicial de un sustrato S, es decir de [S], sino que alcanza un máximo (5). La reacción química es entre el sustrato S y una enzima E, con el producto final P

\frac{d[P]}{dt}=\frac{v\,[S]}{K_m+[S]}

que además muestra que cuando la concentración [S] es muy baja, la velocidad tiene una relación casi lineal con [S], mientras que si es muy alta, la velocidad tiene a un valor máximo. El valor K_m es uno al que la velocidad de reacción es la mitad del máximo que puede alcanzar.

“Michaelis Menten curve 2” by Thomas Shafee – Own work. Licensed under CC BY-SA 4.0 via Wikimedia Commons 

 

Esta relación, que ya cumplió sus 100 años en el 2013, fue propuesta por Leonor Michaelis y Maud Menten, que postularon que la enzima, E, se combinaba reversiblemente con el sustrato, S, para producir un complejo enzima-sustrato, que luego se descomponía para producir el producto, P (6). (Recuerde que la enzima es un catalizador de las reacciones).

La ecuación

Entonces, Goldbeter en una de sus propuestas está que la velocidad en que se pasa hacia el estado maniaco debe disminuir conforme el estado depresivo aumenta, y viceversa, y de manera similar para el estado depresivo, que los representa con el sistema de ecuaciones diferenciales acopladas

 \frac{dM}{dt}=V_M\left(\frac{K_{i+1}^2}{K_{i1}^2+D^2}\right)-k_m\left(\frac{M}{K_1+M}\right)

 \frac{dD}{dt}=V_D\left(\frac{K_{i+2}^2}{K_{i2}^2+M^2}\right)-k_d\left(\frac{D}{K_2+D}\right)

 

(Los parámetros V_M y V_D son las velocidades máximas en que la manía y la depresión pueden aumentar, mientras que k_m y k_d las velocidades máximas a las cuales dichos estados pueden desaparecer. Además, K1 y K2 los valores medios de M y D para que estén por desaparecer, mientras que Ki1 indica el valor de D que inhibe al 50% de M, mientras que Ki2 representa el valor de M que inhibe al 50% de D. Note que los cuatro términos tienen justo la forma de Michaelis-Menten)

Las simulaciones con estas ecuaciones conducen gráficamente, cuando un estado inhibe débilmente al otro, a

Paso de un estado Depresivo a un estado Maniaco. (Estado estable del sist. de ecuaciones)

Paso de un estado Depresivo a un estado Maniaco.
(Estado estable del sist. de ecuaciones)

Dicho de otra manera

Cuando la inhibición mutua es débil, se obtiene un estado estable…
Esta situación corresponde a un cambio continuo de humor desde un ánimo inicial bajo…;
al inicio la propensión a la mania predimina sobre la propensión a la depresión,
hasta llegar a la situación opuesta en que la depresión predomina sobre la manía….
El estado intermedio puede corresponder a la situación normal.

En la situación anterior tenemos que se alcanza un solo estado (monoestable), sin embargo se puede llegar a tener una biestabilidad, es decir, una en que ambos estados son posibles, pero donde uno es más dominante que el otro (estado maniaco o estado depresivo). En la siguiente figura reflejaría una situación en que inicialmente se tiene un estado maniaco alto y uno depresivo bajo, pero que eventualmente el primero irá bajando y el otro subiendo, pero teniendo una región en que ambas situaciones conviven, ya sea a niveles altos o bajos.

Estados Depresivos y Estados Maniacos pueden coexistir siendo uno más predominante que el otro. Gráfico de Goldbeter (2)

Estados Depresivos y Estados Maniacos pueden coexistir siendo uno más predominante que el otro. Gráfico de Goldbeter (2)

 

Uno de las explicaciones, o advertencias, derivadas de esta convivencia es una consecuencia de los antidepresivos (entre otros problemas). Intercambiando la situación y las etiquetas de la gráfica anterior para decir que el estado depresivo empieza alto y el maniaco bajo, el efecto de suministrar un antidepresivo es hacer aumentar el estado maniaco y su frecuencia.

El efecto de los antidepresivos es hacer más frecuente el estado maniaco. Sin antidepresivos, línea a; con antidepresivos, se da b o c. Gráficos de Goldbeter (2)

El efecto de los antidepresivos es hacer más frecuente el estado maniaco. Sin antidepresivos, línea a; con antidepresivos, se da b o c. Gráficos de Goldbeter (2)

 

Para las anteriores gráficas, Goldbeter modificó las suposiciones introduciendo reacciones intermedias que fomentan el paso de un estado al otro, y a la vez atrasarlo por el tiempo en que tomen las reacciones con estos intermediarios. La introducción de esos términos en las ecuaciones permitió el fenómeno oscilatorio. Similar a lo sucedido con la Morfogénesis de Turing, la propuesta en apariencia correcta dará una guía de qué es lo que hay que buscar, qué parámetros o reacciones de qué es lo que está involucrado.

Ahora a esperar avances en el modelado del trastorno de la bipolaridad.

Maud Menten

Maud Menten - Universidad de Pittsburg

Maud Menten – Universidad de Pittsburg

 

Quise dedicarle un espacio a Maud Menten (1879-1960), primera canadiense en obtener un doctorado en medicina, en 1911, en Canadá. En 1907, habiendo terminado una maestría, tuvo que migrar dadas las escasas oportunidades para mujeres en Canadá, yendo al Instituto Rockefeller. Cruzó el Atlántico en 1912 para trabajar con Leonor Michaelis, donde surge la fundación de la enzimología moderna. Cuando hicieron su publicación de la cinética de las reacciones enzimáticas, poco se conocía del tema, siendo desde entonces un tema importante en la bioquímica.

Es autora o coautora de más de 100 artículos, y se le conocía por su fluidez lingüísitica (manejaba seis idiomas), además de dedicar 18 horas de trabajo diarias y ser escaladora.

Ahora le dejo la tarea de investigar más acerca de Maude Menten. Vea: A, B, C, D

 

Para terminar, una anécdota que encontré simpática fue la de su manejo del Ford-T, en el cual no controlaba los pedales llegando a ¡presionarlos todos!

Oh heavens, she would say, now,
is it the middle or right one to stop and the left one to go, or middle to go, left to stop?
She wasn’t sure, so she would push them all

 

Referencias

  1. What is bipolar disorder? National Institute of Mental Health
  2. ¿Por qué es difícil diagnosticar el trastorno bipolar? Alexius today
  3. Goldbeter, A. 2011. A model for the dynamics of bipolar disorder
  4. Goldberg, A. 2003. Antidepressant-induced mania
  5. Murray, Harper’s Illustrated Biochemistry. 2003
  6. Nelson, Cox. Lehninger’s Principles of Biochemistry. 2004